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L’épreuve de mathématiques du BACCALAUREAT D 2006
Exercice 14 points
Le plan complexe $\mathbb{C}$ est muni d’un repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{v})$. On considère le polynôme complexe $p$ défini par : $P(z)=z^4-4(1+i)z^3+12iz^2+8(1-i)z-20$.
1. On donne les points $A$, $B$, $C$ et $D$ d’affixes respectives : $1+i$ ; $1-i$ ; $3+i$ et $1+3i$.
a) Placer dans le plan complexe les points $A$, $B$, $C$ et $D$. 0,5 pt
b) Montrer que les affixes respectives de ces points sont les solutions de l’équation $p(z)=0$. 0,5 pt
c) Montrer que le quadrilatère $ABCD$ est un carré. 1 pt
2. Soit $h$ l’application du plan dans lui-même qui à tout point $M$ d’affixe $z$ associe $M’$ d’affixe $z’$ telle que : $z’=\dfrac{\sqrt{2}}{2}z+\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i$.
a) Déterminer l’affixe du point $\Omega$ tel que $h(\Omega)=\Omega$. 0,5 pt
b) En déduire la nature exacte et les éléments caractéristiques de $h$. 0,5 pt
c) $r$ est la rotation de centre $\Omega$ et d’angle $15^\circ$. Donner la nature et les éléments caractéristiques de $r$. 1 pt
Exercice 24 points
1. Résoudre l’équation différentielle : $y »+y’\ln 2=0$. 1 pt
2. On considère la fonction numérique d’une variable réelle $t$ définie par : $u(t)=e^{-t\ln 2}$. Déterminer la primitive de $u$ qui prend la valeur $1$ en $0$. 1 pt
3. Soit $(v_n)$ la suite définie pour tout entier naturel supérieur ou égal à $1$ par : $v_n=\int_{n-1}^{n}u(t)\,dt$ et on pose $S_n=v_1+v_2+\cdots+v_n$.
a) Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$. 1 pt
b) Calculer $S_n$ et déterminer la limite de $S_n$ quand $n$ tend vers $+\infty$. 1 pt
Problème11 points
Partie A3,5 points
1. Étude de la fonction auxiliaire $g$.
Soit la fonction $g$ définie sur $]0;+\infty[$ par : $g(x)=\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{1}{2}x+2\ln x$. Étudier les variations de $g$ et dresser son tableau de variation. 2 pts
2. Montrer que l’équation $g(x)=0$ admet une unique solution $x_0=1$. 1,5 pt
Partie B6 points
Soit la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par : $f(x)=\dfrac{1}{2}x^2+2\ln x$, $C_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
1. a) Étudier les variations de $f$. 1,5 pt
b) Montrer que la courbe $C_f$ admet une branche parabolique. 0,5 pt
c) Montrer que la courbe $C_f$ coupe la droite $(\Delta)$ d’équation cartésienne $y=\dfrac{1}{2}x$ en un point unique $A$ dont on déterminera les coordonnées. 1 pt
d) Montrer que l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$. 0,5 pt
e) Montrer que $0,83\alpha<0,84$. 0,5 pt
2. a) Écrire une équation cartésienne de la tangente $(T)$ à la courbe $C_f$ au point d’abscisse $1$. 0,5 pt
b) Tracer les droites $(\Delta)$, $(T)$ et la courbe $C_f$ dans le même repère. 1,5 pt
Partie C1,5 point
1. $T$ est le domaine du plan limité par la courbe $C_f$, la droite $(D)$ et les droites d’équations respectives $x=1$ et $x=\lambda$, avec $\lambda>1$.
a) Calculer l’aire $A(\lambda)$ de $T$. 1 pt
b) Déterminer la limite de $A(\lambda)$ quand $\lambda$ tend vers $+\infty$. 0,5 pt
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Épreuve de mathématiques — BACCALAUREAT D 2006
Conclusion du BACCALAUREAT D 2006
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