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L’épreuve de mathématiques du BACCALAURÉAT D 2005
Exercise 1:4 points
On considère les intégrales : $I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{2x}\cos^2 x\,dx$ et $J=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{2x}\sin^2 x\,dx$
1. Calculer $I+J$. 1 pt
2. Soit $f$ la fonction numérique de la variable réelle $x$ définie par : $f(x)=\dfrac{1}{4}e^{2x}(\cos 2x+\sin 2x)$
a) Montrer que $f$ est dérivable sur $IR$ et calculer $f'(x)$. 1 pt
b) En déduire $I-J$. 1 pt
3. Calculer $I$ et $J$. 1 pt
Exercice 2 :5 points
Soit le plan $P$ rapporté à un repère orthonormé direct $(\vec{0},\vec{u},\vec{v})$. On considère la transformation $t$ de $P$ dans $P$ qui à tout point $M$ d’affixe $z=x+iy$ associe le point $M’$ d’affixe $z’=x’+iy’$ tel que $z’=z+1+i\sqrt{3}$.
1. a) Déterminer $x’$ et $y’$ en fonction de $x$ et $y$. 0,5 pt
b) Déterminer la nature et l’élément caractéristique de la transformation $t$. 0,75 pt
2. Soit la transformation $r$, qui au point $M$ d’affixe $z$ associe le point $M_1$ d’affixe $z_1$ tel que : $z_1=\left(\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)z$.
Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation $r$. 1 pt
3. Soit la transformation $s=rot$ qui, au point $M(x;y)$ d’affixe $z$, associe le point $M_2(x_2;y_2)$ d’affixe $z_2$.
a) Exprimer $z_2$ en fonction de $z$. 1 pt
b) Déterminer les coordonnées de l’image $C’$ du point $C(1,-\sqrt{3})$ par $s$. 0,5 pt
4. Soit la droite $(D)$ dont une équation est : $x+y\sqrt{3}+2=0$
a) Montrer que le point $C$ appartient à $(D)$. 0,5 pt
b) Soit $(D’)$ l’image de $(D)$ par $s$. Déterminer le point d’intersection de $(D)$ et $(D’)$. 0,75 pt
Problème:11 points
Le problème comporte deux parties indépendantes $A$ et $B$, Le candidat devra traiter les deux parties.
Partie A :5,5 points
Soit la fonction $f$ définie sur $IR^*$ par : $f(x)=x+\dfrac{2}{x}$
1. Montrer que $f$ est une fonction impaire et étudier ses variations sur $IR^*$. 1 pt
2. Soit $C_f$ la courbe représentative de $f$ dans le plan rapporté à un repère orthonormé.
a) Déterminer les branches infinies de la courbe $C_f$ de $f$. 0,5 pt
b) Etudier les variations de $f$. 0,5 pt
c) Tracer la courbe $C_f$. 0,5 pt
3. Soit la fonction $g$ définie sur $IR\setminus\{1\}$ par : $g(x)=\dfrac{x^2+1}{x-1}$
a) Montrer que, pour tout $x$ de $IR\setminus\{1\}$, $g(x)=f(x-1)+2$. 0,5 pt
b) En déduire que le point de coordonnée $(1;2)$ est centre de symétrie de la courbe $C_g$ représentative de $g$. 0,5 pt
4. Sans étudier la fonction $g$, construire $C_g$ dans le même repère. On précisera les asymptotes de la courbe $C_g$. 1 pt
5. Calculer l’aire du domaine plan limité par la courbe $C_g$, les droites d’équations respectives $x=2$, $x=a$ et $y=x+1$ où $a$ est un réel supérieur à $2$. 1 pt
Partie B :5,5 points
Soit $h$ la fonction numérique définie sur $IR$ par : $h(x)=\dfrac{2e^x+2x-2}{e^x}$
On désigne par $(\Gamma)$ la courbe représentative de $h$ dans un repère orthonormé. (unité sur les axes : $2$ cm)
1. a) Montrer que l’on peut écrire $h(x)$ sous la forme $2+\varphi(x)$ où $\varphi$ est une fonction que l’on déterminera. 0,5 pt
b) Montrer que la limite de $\varphi(x)$ quand $x$ tend vers $+\infty$ est égale à $0$. 0,5 pt
c) Etudier les variations de $h$ et calculer $h(0)$. 1 pt
2. a) Montrer que la courbe $(\Gamma)$ coupe son asymptote en un point $I$ dont on déterminera les coordonnées. 0,5 pt
b) écrire une équation de la tangente $(T)$ de $(\Gamma)$ au point d’abscisse $0$. 0,5 pt
c) tracer la courbe $(\Gamma)$. 1 pt
3. Soit $(D_m)$ la courbe d’équation $y=-m$, $m$ étant un réel.
a) Tracer $(D_1)$ et $(D_2)$. 0,5 pt
b) Discuter suivant les valeurs de $m$ le nombre et le signe des solutions de l’équation $E_m$ : $(2+m)e^x+2x-2=0$. 1 pt
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Épreuve de mathématiques — BACCALAURÉAT D 2005
Conclusion du BACCALAURÉAT D 2005
D’abord, relis calmement l’énoncé et repère les questions faciles pour démarrer. Ensuite, pose tes calculs proprement et justifie chaque résultat. Puis, avance étape par étape, même si tu bloques sur une question. Enfin, avec Ndolomath, tu peux t’entraîner régulièrement et progresser sans stress.
