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L’épreuve de mathématiques du BACCALAUREAT D 2004
Exercice 14 points
Une urne contient douze boules numérotées de 1 à 12. On tire simultanément trois boules. On suppose que tous les résultats possibles d’un tel tirage sont équiprobables. L’on désigne par $a$, $b$ et $c$ les numéros de trois boules tirées.
Déterminer la probabilité de chacun des événements suivants :
$A$ : « $a$, $b$ et $c$ sont des termes consécutifs d’une suite arithmétique de raison 3 ». 1 pt
$B$ : « $a$, $b$ et $c$ sont des termes consécutifs d’une suite géométrique de raison 2 ». 1 pt
$C$ : « $a$, $b$ et $c$ sont des termes consécutifs d’une suite arithmétique de raison $-2$ ». 1 pt
N.B. : On donnera les résultats sous forme de fraction irréductibles.
Exercice 25 points
Soit le polynôme $P(Z)=2Z^3-4Z+\lambda$ où $Z$ désigne un nombre complexe et où $\lambda$ est un nombre réel.
On considère l’équation $(E)$ : $P(Z)=0$.
1. a) Montrer que si $(E)$ admet une solution complexe $Z_0$, alors $\overline{Z_0}$ est aussi solution de $(E)$. 1 pt
b) En déduire que l’équation $(E)$ admet au moins une solution réelle. On ne demande pas de la déterminer. 1 pt
2. a) Déterminer $\lambda$ pour que l’équation $(E)$ admette comme solution réelle 2. 0,75 pt
b) Résoudre l’équation $(E)$ pour la valeur de $\lambda=0$. 0,75 pt
3. On donne $\lambda=8$.
a) Vérifier que $1+i$ est une solution de $(E)$. 0,5 pt
b) Résoudre alors l’équation $(E)$. 0,5 pt
c) Déterminer le module et un argument à chaque solution de $(E)$. 0,5 pt
Problème11 points
Le problème comporte deux parties indépendantes. Le candidat devra traiter les deux parties.
Partie A
7,5 points
On considère l’équation différentielle : $y »-y’+\dfrac{1}{4}y=0$.
1. Résoudre cette équation. 1 pt
2. Déterminer la solution particulière de cette équation qui vérifie les deux conditions suivantes : sa courbe représentative passe par le point $A(0;4)$ et la tangente à cette courbe au point d’abscisse 2 a pour coefficient directeur 0. 0,5 pt
3. a) Étudier les variation de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=(4-x)e^{\frac{1}{2}x}$. 1 pt
b) Dresser le tableau de variation de $f$. 0,5 pt
c) Étudier les branches infinies à $C_f$. 1 pt
d) Tracer dans le plan rapporté à un repère orthonormé la courbe représentative $C_f$ et la tangente à $C_f$ au point d’abscisse 2. 1 pt
e) Montrer que la restriction $f_1$ de $f$ dans $]-\infty;2]$ est une bijection vers un intervalle que l’on déterminera. 1 pt
f) Tracer la courbe $C_{f_1^{-1}}$ de la réciproque $f_1^{-1}$ de $f_1$. 1 pt
4. Calculer l’aire de la partie du plan comprise entre l’axe des abscisses, la courbe $C_f$ et les droites d’équations respectives $x=0$ et $x=4$. 0,5 pt
Partie B
3,5 points
Soit $g_a$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}$ par $g_a(x)=1+(-x^2+ax+a)e^{-x}$, où $a$ est un réel donné.
1. Montrer que les courbes $C_a$ représentatives des fonctions $g_a$ passent par un point fixe $K$ dont on déterminera les coordonnées. 1 pt
2. Montrer que pour tout réel $a$ différent de $-2$, la fonction $g_a$ admet deux extremums dont l’un a pour abscisse $x=0$. 0,5 pt
3. Soit $M_a$ le point d’abscisse $(a+2)$ sur la courbe $C_a$. Calculer l’ordonnée de $M_a$.
4. Quand le réel $a$ varie, le point $M_a$ décrit une courbe $(\Gamma)$. Donner une équation cartésienne de la courbe $(\Gamma)$. 0,5 pt
5. Vérifier que $(\Gamma)$ passe par le point $K$. 0,5 pt
6. Étudier les variations de $g_0$ et construire la courbe $C_0$ dans le plan muni d’un repère orthogonal. 1 pt
Unités sur les axes : 1 cm sur l’axe des abscisses et 3 cm sur l’axe des ordonnées.
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Épreuve de mathématiques — BACCALAUREAT D 2004
Conclusion du BACCALAUREAT D 2004
D’abord, lis chaque consigne calmement et repère les points faciles à sécuriser. Ensuite, sur Ndolomath, tu peux consolider tes méthodes avec des entraînements réguliers. Puis, le BACCALAUREAT D 2004 te montre qu’une rédaction claire vaut autant qu’un bon calcul. Enfin, reste confiant : le BACCALAUREAT D 2004 se réussit avec méthode et régularité.
