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L’épreuve de mathématiques du BACCALAURÉAT C 2016
Exercice 14,5 points
Une urne contient 5 jetons portant les réels : $-\sqrt{2}$; $-1$; $0$; $1$ et $\sqrt{2}$. On tire successivement et avec remise deux jetons de l’urne. On appelle $x$ le numéro du premier jeton et $y$ celui du deuxième jeton et on construit le nombre complexe $z=x+i y$.
1. Combien de nombres complexes peut-on ainsi construire ?
2. Quelle est la probabilité d’obtenir :
a. Un nombre complexe de module $\sqrt{2}$ ?
b. Un nombre complexe dont un argument est $\dfrac{\pi}{2}$ ?
3. On effectue trois fois de suite le tirage successif et avec remise de 2 jetons de l’urne et on désigne par $X$ la variable aléatoire qui, à l’issue de ces trois tirages associe le nombre complexe de module $\sqrt{2}$. Déterminer la loi de probabilité de $X$.
Exercice 25,5 points
On considère dans un repère orthonormé direct $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ de l’espace, les surfaces $(S)$ et $(S’)$ d’équations respectives $z=(x-y)^2$ et $z=xy$. On prendra $1$ cm comme unité.
I.
1. Déterminer le vecteur $\vec{i}\wedge\vec{j}\wedge(2\vec{k})$.
2. On note $(I_2)$ l’intersection de $(S’)$ avec le plan $(P_1)$ d’équation $z=0$. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de $(I_2)$.
3. On note $(I_3)$ l’intersection de $(S)$ et de la surface $(S »)$ d’équation $z=-2xy+4+2y^2$. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques du projeté orthogonal de $(I_3)$ sur le plan $(O,\vec{i},\vec{j})$.
II. (Série C uniquement)
On note $(I_4)$ l’intersection de $(S)$ et de la surface $(S’)$. Dans cette partie, on veut démontrer que le seul point de $(I_4)$ dont les coordonnées sont des entiers naturels est le point $O(0;0;0)$. On suppose qu’il existe un point $M$ appartenant à $(I_4)$ et dont les coordonnées $x$, $y$ et $z$ sont des entiers naturels.
1. Montrer que si $x=0$, alors le point $M$ est le point $O$. 0,5 pt
2. On suppose désormais que l’entier $x$ n’est pas nul.
a. Montrer que les entiers $x$ et $y$ vérifient $x^2-3xy+y^2=0$. En déduire qu’il existe alors deux entiers naturels $x’$ et $y’$ premiers entre eux tels que $x’^2-3x’y’+y’^2=0$. 1,25 pt
b. Montrer que $x’$ divise $y’^2$, puis que $x’$ divise $y’$.
c. Etablir que $x=0$ et conclure. 1,25 pt
III. (Série E uniquement)
$ABCO$ est un tétraèdre régulier d’arête égale à $2$. L’arête $[OB]$ est portée par l’axe des ordonnées. $C$ est un point du plan $(O,\vec{i},\vec{j})$ d’abscisse égale à $\sqrt{3}$.
1. a. Faire un schéma.
b. Montrer que les coordonnées des points $A$, $B$ et $C$ dans le repère $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ sont respectivement $\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3};1;\dfrac{2\sqrt{6}}{3}\right)$ ; $(0;2;0)$ et $(\sqrt{3};1;0)$.
2. En déduire le volume du tétraèdre $ABCO$.
Problème
Le problème comporte deux parties $A$ et $B$.
Le plan est muni d’un repère orthonormé direct $(O,\vec{i},\vec{j})$. On considère l’ensemble $(E)$ des points $M(x;y)$ tels que $\sqrt{|x|}+\sqrt{|y|}=1$.
On va déterminer toutes les isométries du plan qui laissent $(E)$ globalement invariant.
Partie A4,75 points
Soit $f$ la fonction numérique d’une variable réelle définie par $f(x)=(1-\sqrt{|x|})^2$ pour tout $x$ appartenant à $[-1;1]$. On note $(C)$ sa courbe représentative dans le repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$. On prendra $3$ cm comme unité sur les axes.
1. a. Déterminer la parité de $f$.
b. Quelle conséquence géométrique peut-on en déduire ? 0,25 pt
2. Soit $g$ la restriction de $f$ à $[0;1]$ et $t$ la fonction définie sur $[0;1]$ par $t(x)=g(x^2)$.
a. Vérifier que $g(x)=(1-\sqrt{|x|})^2$ pour tout $x\in[0;1]$. 0,25 pt
b. Etudier la dérivabilité de $g$ à droite en $0$. Que peut-on conclure pour la courbe $(C)$ de $f$ ? 0,5 pt
c. Montrer que pour tout $x\in]0;1]$, $g'(x)=\dfrac{-1+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$. 0,25 pt
d. Dresser le tableau de variation de $g$.
e. Montrer que $t$ est solution de l’équation différentielle $y »-2=0$ sur $[0;1]$.
3. a. Représenter soigneusement dans le repère $(O,\vec{i},\vec{j})$, la courbe $(C)$ de la fonction $f$.
b. Déterminer l’aire du domaine limité par l’axe des abscisses et la courbe $(C)$ de $f$. 0,5 pt
4. Soit $h$ la fonction définie sur $[-1;1]$ par $f(x)=-h(x)$. Déduire de $(C)$ la courbe $(C’)$ de $h$ dans le même repère $(O,\vec{i},\vec{j})$.
5. On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=\dfrac{1}{2}$ et $u_{n+1}=f(u_n)$.
a. Vérifier que la suite $(u_n)$ est bien définie.
b. Montrer que $(u_n)$ n’est ni croissante ni décroissante. 0,5 pt
Partie B5,25 points
On note $(\mathcal{J})$ l’ensemble des isométries du plan qui laissent $(E)$ globalement invariant.
1. Montrer que pour tout point $M(x;y)$ appartenant à $(E)$, on a : $-1\le x\le 1$.
2. Montrer que $(E)$ est la réunion des courbes $(C)$ et $(C’)$.
3. On considère dans le repère $(O,\vec{i},\vec{j})$ les points $I(1;0)$; $J(0;1)$; $K(-1;0)$ et $L(0;-1)$.
a. Déterminer l’ensemble des couples $(A;B)$ de points de $(E)$ tels que $d(A;B)=2$.
b. Soit $S$ une isométrie du plan laissant $(E)$ globalement invariant. Montrer que : $S(O)=O$.
c. En déduire toutes les natures possibles de l’isométrie $S$.
4. Soit $r$ un déplacement laissant globalement invariant $(E)$.
a. Vérifier que $r$ est soit une rotation de centre $O$ et d’angle non nul, soit l’application identique du plan.
b. En déduire par leurs éléments caractéristiques tous les déplacements laissant $(E)$ globalement invariant.
5. Soit $S_{\Delta}$ une réflexion du plan d’axe $\Delta$ laissant $(E)$ globalement invariant.
a. Vérifier que $O\in\Delta$. 0,25 pt
b. En déduire par leurs éléments caractéristiques toutes les réflexions qui laissent $(E)$ globalement invariant.
6. Ecrire alors en extension l’ensemble $(J)$.
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Épreuve de mathématiques — BACCALAURÉAT C 2016
Conclusion du BACCALAURÉAT C 2016
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