D’abord, le BACCALAUREAT C 2015 te présente le sujet complet sur Ndolomath pour réviser sereinement. Ensuite, le BACCALAUREAT C 2015 t’aide à repérer les notions clés et les pièges classiques. Puis, le BACCALAUREAT C 2015 te permet de t’entraîner comme le jour J, étape par étape. Enfin, le BACCALAUREAT C 2015 s’appuie aussi sur la définition de l’examen pour situer le contexte.
L’épreuve de mathématiques du BACCALAUREAT C 2015
EXERCICE 1 :3,25 points
Soit à résoudre le système : $ \left\{\begin{array}{l} x=\sqrt{2y+3} \\ y=\sqrt{2z+3} \\ z=\sqrt{2x+3} \end{array}\right.$ où $x$, $y$ et $z$ sont des nombres réels.
1. Première approche : Série E uniquement.
(a) Montrer que le triplet $(3,3,3)$ est une solution de ce système.
(b) Montrer que si le triplet $(x,y,z)$ est une solution de ce système, on ne peut pas avoir $x<3$. 1,25 pt
(c) Montrer que si le triplet $(x,y,z)$ est une solution de ce système, on ne peut pas avoir $x>3$. 1,25 pt
(d) Déduire alors l’ensemble solution de ce système.
2. Deuxième approche : Série C uniquement.
(a) Montrer que si le triplet $(x,y,z)$ est solution de ce système, alors $x$, $y$ et $z$ sont solutions de l’équation : $t^8-12t^6+30t^4+36t^2-128t-183=0$. 1.25 pts
(b) En déduire les valeurs rationnelles de $x$, $y$ et $z$. 2 pts
EXERCICE 2 :3 points
(i) On dit que deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes lorsque : l’une est croissante, l’autre est décroissante et $u_n-v_n$ tend vers $0$ quand $n$ vers $+\infty$.
(ii) Si $(u_n)$ et $(v_n)$ sont deux suites adjacentes telles que $(u_n)$ est croissante et $(v_n)$ est décroissante, alors pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_n\le v_n$.
1. Compléter les phrases ci-après avec le mot qui convient :
(a) Toute suite croissante et majorée est
(b) Toute suite décroissante et est convergente.
2. Indiquer si la proposition ci-après est vraie ou fausse et proposer une démonstration pour la réponse indiquée :
« Deux suites adjacentes sont convergentes et elles ont la même limite».
3. Relier en justifiant votre choix la courbe $(C)$ de la colonne $(I)$ à la courbe $(C’)$ de sa fonction dérivée dans la colonne (II).
EXERCICE 3 :3,75 points
On désigne par $L(\mathbb{R}^2)$, la famille des endomorphismes $f_\lambda$ de $\mathbb{R}^2$ dont la matrice $M_\lambda$ relativement à la base canonique $(\vec{i},\vec{j})$ de $\mathbb{R}^2$ est de la forme : $ \begin{pmatrix} -1+\lambda & 1+\lambda \\ \lambda(1-\lambda) & \lambda \end{pmatrix} $ où $\lambda$ est un réel
1. A quelle conditions sur $\lambda$, $f_\lambda$ est-il un automorphisme ?
2. Une boîte $\Omega$ contient 5 boules numérotées $-2$; $-1$; $0$; $1$ et $2$, toutes indiscernables au toucher. On tire au hasard successivement et sans remise deux boules de $\Omega$ et on note $(p,q)$ le couple de numéros obtenus.
On désigne par $X$ l’aléa numérique qui à tout couple $(p,q)$ associe la valeur :
$-2$ si aucun des $f_p$ et $f_q$ n’est un automorphisme ;
$1$ si un seul parmi $f_p$ et $f_q$ est un automorphisme ;
$3$ si les deux $f_p$ et $f_q$ sont des automorphismes.
(a) Déterminer la loi de probabilité de $X$.
(b) Calculer l’espérance et l’écart-type de $X$.
3. Déterminer une équation cartésienne du noyau et de l’image de $f_{-2}$.
4. Soit $g$ l’application linéaire définie de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}^2$ par : $g(x,y)=\frac12(-x+3y;\frac12x+y)$. $g$ appartient-elle à $L(\mathbb{R}^2)$ ? Justifier.
PROBLEME
Ce problème comporte trois parties indépendantes $A$, $B$ et $C$.
PARTIE A :3,75 points
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{v})$.
On considère l’équation $(E)$: $z^3+64i=0$.
1. Déterminer une solution $z_0$ de $(E)$ telle que : $\overline{z_0}=-z_0$.
2. Déterminer les deux autres solutions $Z_1$ et $Z_2$ de $(E)$, où $Z_1$ a une partie réelle négative.
3. Les points $A$, $B$ et $C$ ont pour affixes respectives : $-2\sqrt3-2i$, $2\sqrt3-2i$ et $4i$.
Déterminer la nature du triangle $ABC$ et montrer que les points $A$, $B$ et $C$ appartiennent à une conique dont on précisera la nature et les éléments caractéristiques. 1,5 pt
4. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation $f$ du plan qui à $M(z)$ associe $M'(z’)$ tel que $(z-4i)=re^{i\theta}(z-4i)$ et qui transforme le
PARTIE B :5 points
$\theta$ étant des nombres réels.
Un triangle équilatéral de côté est divisé en quatre parties par Demy passant par son centre de gravité (voir figure ci-contre) $G$.
On se propose de déterminer la valeur maximale de l’aire $\mathcal{A}$ de la partie hachurée.
1. Démontrer que $\mathcal{A}=\frac{\sqrt3}{3}-\frac{\sqrt3}{6}(x-y)$.
2. Démontrer que $y=\frac{3x-1}{3(x+1)}$. 1,5 pt
3. En déduire la valeur maximale de $\mathcal{A}$.
4. L’espace est associé à un repère orthonormé direct $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$.
On donne : $M(0,2,0)$; $N(\sqrt3,1,0)$; $P\left(\frac{\sqrt3}{3},1,\frac{2\sqrt6}{3}\right)$.
Déterminer le système d’équations cartésiennes de la perpendiculaire au triangle $MNP$ en son entre de gravité.
PARTIE C:1,25 point
$f$ est la fonction numérique d’une variable réelle $x$ définie par: $f(x)=e^{2e^x}$.
On pose: $g(x)=\ln f(x)$.
Montrer que $g$ est solution d’une équation différentielle du premier ordre que l’on précisera.
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Épreuve de mathématiques — BACCALAUREAT C 2015
Conclusion du BACCALAUREAT C 2015
D’abord, relis chaque consigne et vérifie tes calculs, comme au BACCALAUREAT C 2015. Ensuite, entraîne-toi à gérer le temps et à présenter proprement tes réponses. Puis, garde confiance et reviens sur tes points faibles avec Ndolomath. Enfin, tu peux te fixer un rythme régulier, inspiré du BACCALAUREAT C 2015.
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