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L’épreuve de mathématiques du BAC C 2014
EXERCICE 13 points
Dans l’espace muni d’un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$, on considère les points $A(1;-1;0)$ ; $B(3;0;1)$ ; $C(1;2;-1)$ et $D(1;0;0)$.
1. Démontrer que les points $A$, $B$, $C$ et $D$ ne sont pas coplanaires.
2. (a) Ecrire une équation cartésienne du plan $(ABC)$.
(b) Calculer le volume du tétraèdre $ABCD$.
(c) Déterminer l’expression analytique de la réflexion $f$ par rapport au plan $(ABC)$.
3. Soit $(S)$ la sphère de centre $D$ passant par $B$. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de l’image $(S’)$ de $(S)$ par $f$.
EXERCICE 24,5 points
1.
On considère les équations différentielles suivantes : $(E): y »-4y’+4y=2\cos x+\sin x$ ; $(E_0): y »-4y’+4y=0$.
(a) Déterminer les réels $a$ et $b$ pour lesquels la fonction $g$ définie pour tout réel $x$ par $g(x)=a\cos x+b\sin x$ est solution de $(E)$. 0,5 pt
(b) Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$. Montrer que $f$ est une solution de $(E)$ si et seulement si $f-g$ est solution de $(E_0)$. 0,5 pt
(c) Résoudre $(E_0)$ et en déduire la forme générale des solutions de $(E)$. 0,75 pt
2.
Soit la fonction $h$ définie dans $[0;\pi]$ par $h(x)=\dfrac{2}{5}\cos x-\dfrac{1}{5}\sin x$. On désigne par $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$.
(a) Calculer pour tout $x$ de $[0;\pi[$, $h'(x)$ et $h »(x)$. 0,5 pt
(b) Etudier les variations de $h’$ sur $\left[\dfrac{\pi}{2};\pi\right[$ et en déduire que l’équation $h'(x)=0$ dans $\left[\dfrac{\pi}{2};\pi\right[$ admet une unique solution $\alpha$ avec $2,6<\alpha<2,7$. 0,75 pt
(c) Montrer que $h'(x)>0 \Leftrightarrow x\in]\alpha;\pi[$ et dresser le tableau de variation de $h$.
(d) Tracer $(C)$. (Prendre $\alpha=2,6$ et pour unité de longueur sur les axes : $1,5$ cm). 0,75 pt
EXERCICE 32,5 points
1.
Soit $a$ un réel strictement positif.
(a) Montrer que $1-a<\dfrac{1}{1+a}<1$.
(b) En déduire que $a-\dfrac{a^2}{2}<\ln(1+a)<a$.
2.
Soit $n$ un entier naturel non nul, on pose $P_n=\left(1+\dfrac{1}{n^2}\right)\left(1+\dfrac{2}{n^2}\right)\cdots\left(1+\dfrac{n}{n^2}\right)$.
(a) Justifier que $1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
(b) Montrer que $\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)-\dfrac{1}{12}\dfrac{(n+1)(2n+1)}{n^3}<\ln P_n<\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)$.
(c) En déduire que la suite $(P_n)$ converge et déterminer sa limite.
PROBLEME
Dans le plan $(P)$ rapporté à un repère orthonormé d’origine $O$, on considère l’application $\Psi$ définie par : $\Psi(O)=O$ et pour tout point $M$ de $(P)$ distinct de $O$, $\Psi(M)=M’$ tel que $\overrightarrow{OM’}=\dfrac{4}{OM^2}\overrightarrow{OM}$.
Partie A6 points
1. (a) Montrer que pour tout point $M$ de $(P)$, $\Psi\circ\Psi(M)=M$.
(b) Justifier que l’ensemble des points $M$ de $(P)$ distincts de $O$ tels que $\Psi(M)=M$ est le cercle de centre $O$ et de rayon $2$. 0,75 pt
Pour toute la suite, $(d)$ est une droite quelconque de $(P)$, $D$ est un point fixé de $(d)$ distinct de $O$ ; $\vec{u}$ est un vecteur directeur de $(d)$. On pose $\vec{e_2}=\dfrac{\vec{u}}{\|\vec{u}\|}$ et on suppose le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec{e_1},\vec{e_2})$. On donne $\overrightarrow{OD}=a\vec{e_1}+b\vec{e_2}$.
2. Justifier que $(d)$ est l’ensemble des points $M$ d’affixe $z$ tels que $z=a+it$ où $t\in\mathbb{R}$.
3. Soient $M$ et $M’$ deux points de $(P)$ tous distincts de $O$ et d’affixes respectifs $z$ et $z’$.
(a) Montrer que $\Psi(M)=M’ \Leftrightarrow z’=\dfrac{4}{\overline{z}}$.
(b) En posant $\overrightarrow{OM}=a\vec{e_1}+t\vec{e_2}$ et $\overrightarrow{OM’}=x’\vec{e_1}+y’\vec{e_2}$, montrer que $\Psi(M)=M’ \Leftrightarrow x’=\dfrac{4a}{a^2+t^2}$ et $y’=\dfrac{4t}{a^2+t^2}$.
(c) Vérifier que dans ce cas, $(x’-\dfrac{2}{a})^2+y’^2=\dfrac{4}{a^2}$.
(d) En déduire que si $M$ appartient à $(d)$, alors $\Psi(M)$ appartient au cercle $(C_1)$ de diamètre $[OH’]$ où $H’$ est l’image par $\Psi$ du projeté orthogonal $H$ de $O$ sur $(d)$.
4. Soit $h$ l’application affine qui à tout point $M(x;y)$ associe $M_1(x_1;y_1)$ tel que $\left\{\begin{array}{l}x_1=x\\y_1=\dfrac{2}{3}y\end{array}\right.$. Montrer que l’image de $(C_1)$ par $h$ est une ellipse dont on donnera l’excentricité.
Partie B4 points
Dans le plan vectoriel $(\vec{P})$ associé à $(P)$, on considère l’application $\varphi$ telle que $\varphi(\vec{0})=\vec{0}$ et $\varphi(\vec{u})=\dfrac{4}{\|\vec{u}\|^2}\vec{u}$ si $\vec{u}\neq\vec{0}$.
1. Soit $\vec{v}$ un vecteur non nul, exprimer $\varphi\left(\dfrac{4}{\|\vec{v}\|^2}\vec{v}\right)$ en fonction de $\vec{v}$ et en déduire que $\varphi$ n’est pas linéaire. 1 pt
2. (a) Déterminer l’ensemble $Inv(\varphi)$ des vecteurs $\vec{u}$ de $\vec{P}$ tels que $\varphi(\vec{u})=\vec{u}$.
(b) Soient $\vec{u_1}$ et $\vec{u_2}$ deux vecteurs de $(\vec{P})$ tels que $\|\vec{u_1}\|=\|\vec{u_2}\|=2$ et $Mes(\widehat{\vec{u_1},\vec{u_2}})=\dfrac{\pi}{3}$. Calculer $\|\vec{u_1}+\vec{u_2}\|$ et en déduire que $Inv(\varphi)$ n’est pas un sous espace vectoriel de $(\vec{P})$.
3. Soit $Opp(\varphi)$ l’ensemble des vecteurs de $(\vec{P})$ tels que $\varphi(\vec{u})=-\vec{u}$. Déterminer $Opp(\varphi)$ et montrer que $Opp(\varphi)$ est un sous-espace vectoriel de $(\vec{P})$.
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Épreuve de mathématiques — BAC C 2014
Conclusion du BAC C 2014
D’abord, le BAC C 2014 demande de la rigueur, alors avancez étape par étape. Ensuite, Ndolomath vous conseille de justifier chaque résultat, même quand c’est court. Puis, le BAC C 2014 se réussit en gérant bien le temps et en relisant tout. Enfin, gardez confiance et terminez proprement, sans bâcler les dernières lignes.
