D’abord, le BAC C 2012 est là sur Ndolomath pour réviser sans vous éparpiller. Ensuite, le BAC C 2012 vous entraîne à lire vite, choisir une méthode, puis avancer proprement. Puis, le BAC C 2012 se comprend mieux avec la définition de l’examen. Enfin, le BAC C 2012 vous aide à gérer le temps et à rester serein jusqu’à la fin.
L’épreuve de mathématiques du BAC C 2012
Exercice 1 : série E uniquement5 points
Soit $f$ la fonction définie sur $]0;\pi[$ par : $f(x)=\dfrac{1}{\sin x}$.
1. Etudier la fonction $f$ et construire sa courbe représentative $(C)$ dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$. 1 pt
2. Montrer que la restriction $g$ de $f$ à l’intervalle $]0;\dfrac{\pi}{2}]$ possède une fonction réciproque $g^{-1}$ dans le même repère que $(C)$.
3. Soit $y=g^{-1}(x)$. Montrer que $\sin y=\dfrac{1}{x}$ et que $\cos y=\dfrac{\sqrt{x^2-1}}{x}$. 0,75 pt
4. En déduire que pour tout $x$ de $]1;+\infty[$, $(g^{-1})'(x)=-\dfrac{1}{x\sqrt{x^2-1}}$.
5. En se servant des résultats précédents, calculer $I=\int_{\frac{2\sqrt{3}}{3}}^{\frac{3\sqrt{2}}{2}} \dfrac{dt}{t\sqrt{t^2-1}}$.
Exercice 1 : Série C uniquement5 points
1. Soit $N$ un entier relatif impair. Montrer que $N^2 \equiv 1\,[8]$.
2. Montrer que si un entier relatif $M$ est tel que $M^2 \equiv 1\,[8]$ alors $M$ est impair.
3. Résoudre dans $\mathbb{Z}$ l’équation $x^2=8y+1$.
4. Résoudre dans $\mathbb{Z}^2$ l’équation $y=\dfrac{x^2-1}{8}$ ; dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$ du plan $P$ passe par une infinité de points à coordonnées entières.
Exercice 25 points
Dans l’ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes, on considère l’équation $(E)$ : $z^3+(3-d^2)z+2i(1+d^2)=0$, où $d$ est un nombre complexe donné de module $2$.
1. (a) Vérifier que $2i$ est une solution de l’équation $(E)$.
(b) Résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation $(E)$.
2. Dans le plan complexe $P$, on considère les points $A$, $B$, $M$, et $N$ d’affixes respectives $2i$, $-i$, $-i+d$ et $-i-d$.
(a) Calculer $MN$ et déterminer le milieu de $[MN]$.
(b) En déduire que lorsque $d$ varie dans $\mathbb{C}$, les points $M$ et $N$ appartiennent à un cercle fixe que l’on précisera.
(c) Dans le cas où $AMN$ est un triangle, montrer que $O$ est le centre de gravité du triangle $AMN$.
(d) En déduire les valeurs de $d$ pour lesquelles le triangle $AMN$ est isocèle de sommet principal
Problème :10 points
Le problème comporte trois parties $A$, $B$ et $C$. Les parties $A$ et $B$ sont liées.
Partie A :4 points
Soit l’équation différentielle $(E)$ : $y »+(2\ln 2)y’+(\ln 2)^2y=0$.
1. (a) Résoudre l’équation $(E)$ dans $\mathbb{R}$.
(b) Déterminer la solution $g$ de $(E)$ vérifiant : $g(0)=0$ et $g'(0)=1$.
2. On considère la fonction numérique $u$ définie pour tout réel $x$ par $u(x)=\dfrac{x}{2^x}$. On note $(C)$ la courbe représentative de $u$ dans un repère orthonormé du plan.
(a) Montrer que la fonction dérivée $u’$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $u'(x)=(1-x\ln 2)e^{-x\ln 2}$. 0,5 pt
(b) Dresser le tableau de variation de $u$.
(c) Préciser les branches infinies de $(C)$. 0,5 pt
(d) Tracer $(C)$ et sa tangente $(T_0)$ au point d’abscisse $0$. (Prendre $2$ cm comme unité sur les axes des coordonnées).
3. (a) Prouver que $u$ est une solution particulière de l’équation différentielle $(E)$.
(b) En déduire la valeur du nombre réel $(\ln 2)^2 \times \int_0^1 u(x)\,dx$.
Partie B :
On définit la suite numérique $(V_n)$ par : $\left\{\begin{array}{l}V_0=1\\V_{n+1}=\dfrac{1}{2}(V_n+2^{-n})\end{array}\right.$
1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $V_n=u(n)$ 0,5 pt
2. Pour tout entier naturel $n$, on pose $S_n=\sum_{k=0}^{n} V_k$.
(a) Démontrer par récurrence que $S_n=\left(\sum_{k=0}^{n}\dfrac{1}{2^k}\right)-\dfrac{n+1}{2^n}$ pour tout entier naturel $n$. 1 pt
(b) Calculer la limite de la suite $S_n$).
Partie C :
Dans le plan orienté et muni d’un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$, on considère les vecteurs $\vec{e_1}=\dfrac{1}{2}\vec{i}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\vec{j}$ ; $\vec{e_2}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\vec{i}+\dfrac{1}{2}\vec{j}$.
1. Démontrer que $(O,\vec{e_1},\vec{e_2})$ est un repère orthonormé du plan.
2. Déterminer les éléments caractéristiques de la rotation qui transforme $(O,\vec{e_1},\vec{e_2})$ en $(O,\vec{i},\vec{j})$. 0,5 pt
3. Une conique dans le repère $(O,\vec{e_1},\vec{e_2})$ a pour équation cartésienne $13X^2+7Y^2+6\sqrt{3}XY=16$.
(a) Ecrire l’équation cartésienne réduite de cette conique dans le repère $(O,\vec{i},\vec{j})$.
(b) En déduire sa nature et son excentricité.
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Épreuve de mathématiques — BAC C 2012
Conclusion du BAC C 2012
D’abord, reprenez chaque exercice calmement, et vérifiez les définitions avant de calculer. Ensuite, Ndolomath vous encourage à rédiger proprement, même quand une question bloque. Puis, entraînez-vous à justifier vos étapes et à soigner les notations jusqu’au bout. Enfin, avec le BAC C 2012, vous consolidez vos réflexes et gagnez en assurance.
