D’abord, le BAC C 2007 est présenté clairement pour réviser avec Ndolomath. Ensuite, le BAC C 2007 vous aide à repérer les notions clés et à mieux gérer le temps. Puis, le BAC C 2007 se comprend mieux avec la définition de l’examen. Enfin, le BAC C 2007 vous entraîne comme le jour J, avec des questions progressives et exigeantes.
L’épreuve de mathématiques du BAC C 2007
Exercice 15 points
Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé $(O,\vec i,\vec j,\vec k)$, on considère :
Le plan $(P)$ d’équation cartésienne $x+y+z-3=0$ ;
La droite $(D)$ passant par le point $A(1;2;3)$ et de vecteur directeur $u=\vec i+\vec j+\vec k$ ;
La symétrie orthogonale $s$ par rapport au plan $(P)$.
1. Démontrer que $(D)$ et $(P)$ sont perpendiculaires. 1 pt
2. a) On note $M(x;y;z)$ un point quelconque de l’espace et $M'(x’;y’;z’)$ son image par $s$. Ecrire $x’$, $y’$ et $z’$ en fonction de $x$, $y$ et $z$. 0,5 pt
(b) On note $A’=s(A)$, déterminer les coordonnées de $A’$ dans le repère $(O,\vec i,\vec j,\vec k)$. 0,5 pt
(c) En déduire les coordonnées du point $H$, intersection de $(P)$ et $(D)$. 0,5 pt
(d) Retrouver les coordonnées de $H$ par une autre méthode. 0,5 pt
3. a) Déterminer par son équation cartésienne l’ensemble $(S)$ des points de l’espace tels que : $\dfrac{MA}{MH}=5$. 0,5 pt
(b) Reconnaître $(S)$ et déterminer ses éléments caractéristiques. 1 pt
(c) Préciser l’intersection de $(S)$ et de $(P)$. 0,5 pt
Exercice 24 points
Pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ et $x$ de $\mathbb{R}$, on note $f_n$ la fonction définie par : $f_n(x)=\dfrac{e^{nx}}{1+e^x}$.
On définit la suite $(u_n)$ par son terme général $u_n=\int_0^1 f_n(x)\,dx$.
1. a) Démontrer que la suite $(u_n)$ est définie et à termes positifs. 0,5 pt
(b) Calculer $u_1$ et $u_0+u_1$. En déduire la valeur exacte de $u_0$. 0,5 pt
(c) Pour tout $n$ de $\mathbb{N}$, calculer $u_n+u_{n+1}$ en fonction de $n$. 1 pt
2. a) Démontrer que la suite $(u_n)$ est croissante. 0,5 pt
(b) Démontrer que pour tout $n$ de $\mathbb{N}$, et pour tout $x$ de l’intervalle $[0;1]$, $\dfrac{e^{nx}}{e+1}\le f_n(x)\le \dfrac{1}{2}e^{nx}$. 0,5 pt
(c) En déduire un encadrement de $u_n$. 0,5 pt
3. Déduire de la question 2.b) la limite de $u_n$ puis celle de $\dfrac{u_n}{e^n}$. 0,5 pt
PROBLEME11 points
Le problème comporte deux parties indépendantes $A$ et $B$.
Partie A4 points
Le plan est rapporté à un repère orthonormé $(O,\vec e_1,\vec e_2)$.
On note :
$(G)$ l’ensemble des points du plan dont l’affixe $z$ vérifie la relation : $5z\overline z+(z+\overline z+1)^2-1=0$.
$f$ la similitude directe plane d’angle $\dfrac{\pi}{2}$, de rapport $2$ et de centre $O$.
$g$ l’application de l’ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes dans lui-même qui à tout nombre complexe $z$, affixe d’un point $M$, associe le nombre $g(z)$, affixe de $f(M)$ ; $(G’)$ est l’image de $(G)$ par $f$.
1. Démontrer que $(G)$ est une ellipse et préciser ses foyers et ses directrices et son excentricité. 2 pts
2. (a) Donner l’expression de $g(z)$ en fonction de $z$. 1 pt
(b) Donner la nature exacte de $(G’)$ dont on donnera l’excentricité. 1 pt
Partie B7 points
On note :
$h$ la fonction de la variable réelle $x$ définie dans l’intervalle $]0;+\infty[$ par $h(x)=\dfrac{x+1}{2x+1}-\ln x$.
$\ell$ la fonction de la variable réelle $x$ définie dans l’intervalle $]0;+\infty[$ par $\ell(x)=\dfrac{2\ln x}{x^2+1}$.
$(C)$ la courbe représentative de $\ell$ dans un repère orthonormé.
1. (a) Déterminer les limites de $h$ à droite de $0$ et en $+\infty$. 0,5 pt
(b) Calculer la dérivée de $h$ et en déduire le tableau de variation de $h$. 1 pt
2. (a) Démontrer que l’équation $h(x)=0$ admet une unique solution $\lambda$ dans l’intervalle $]1;2[$. 0,5 pt
(b) Préciser le signe de $h(x)$ dans l’intervalle $]0;+\infty[$. 0,5 pt
3. (a) Déterminer les limites de $\ell$ à droite de $0$ et en $+\infty$. 0,5 pt
(b) En déduire les asymptotes de $(C)$. 0,5 pt
(c) Calculer la dérivée de $\ell$ et démontrer que, pour tout $x$ de $]0;+\infty[$, $\ell'(x)$ a le même signe que $(2x+1)h(x)$. 1 pt
4. Dresser le tableau de variation de $\ell$ dans l’intervalle $]0;+\infty[$. 0,5 pt
5. (a) Démontrer que $\ell(\lambda)=\dfrac{2}{\lambda(2\lambda+1)}$. 0,5 pt
(b) On note $A$ le point de rencontre de $(C)$ avec l’axe des abscisses ; écrire une équation cartésienne de la droite $(D)$, tangente à $(C)$ en $A$. 0,5 pt
(c) Tracer $(D)$ et donner une allure générale de la courbe $(C)$. Unité sur les axes : $1,5$ cm. 1 pt
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Épreuve de mathématiques — BAC C 2007
Conclusion du BAC C 2007
D’abord, le BAC C 2007 vous montre le niveau attendu et les pièges classiques. Ensuite, entraînez-vous régulièrement et relisez vos étapes pour éviter les erreurs. Puis, Ndolomath vous aide à rester motivé et à réviser avec méthode. Enfin, gardez confiance, le BAC C 2007 se réussit avec discipline et pratique.
