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L’épreuve de mathématiques du BACCALAURÉAT C 2005
Exercice 1: (Uniquement pour les candidats de C)5 points
1. Résoudre dans $Z\times Z$, l’équation $(E):\ 13x-84y=7$ 1,75 pt
b) Montrer que pour tout couple solution $(a;b)$ de $(E)$, on a: $pgcd(a;b)=1$ ou $pgcd(a;b)=7$ 1 pt
2. Déterminer les solutions $(a;b)$ de $(E)$ telles que $a$ et $b$ soient premiers entre eux 0,75 pt
3. Déterminer les solutions $(a;b)$ de $(E)$ telles que : $pgcd(a;b)=7$ 0,75 pt
Exercice 2:5 points
Soit $g$ la numérique d’une variable réelle $x$ définie par: $g(x)=(x+2)e^{-x}$
Soit $C_g$ la courbe représentative de $g$ dans le plan rapporté au repère orthonormé direct $(0,\vec{i},\vec{j})$; unité graphique sur les axes : $2\ cm$.
1. a) Etudier les variations de $g$ et dresser son tableau de variations. 1,5 pt
b) montrer que l’axe des abscisses est asymptote et l’axe des ordonnées est une branche parabolique à la courbe $C_g$
c) tracer la courbe $C_g$
2. Soit $(\Delta)$ le domaine plan limité par les droites d’équations $x=-2;\ x=0;\ y=0$, la courbe $C_g$ et la droite $(D)$ d’équation $y=2x+4$.
Calculer les coordonnées des points d’intersection de $(D)$ et de $C_g$
Calculer l’aire de $(\Delta)$. 0,5 pt
3. Soit $ABCD$ un carré direct du plan de centre $I$ et de côté $a$, $S$ la similitude directe de centre $A$ qui transforme $C$ en $B$.
a) Déterminer le rapport et une mesure de l’angle de $S$. 0,75 pt
b) Montrer que $I$ est l’image de $D$ par $S$. 0,5 pt
c) En déduire l’aire de $S(\Delta)$, image de $(\Delta)$ par $S$. 0,5 pt
Problème :11 points
Le problème comporte trois parties indépendantes, Le candidat se doit de traiter les trois parties
Partie A3 points
1. Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $1$ et $x$ un réel positif.
Montrer par récurrence que : $(1+nx)\le(1+x)^n$. 0,5 pt
2. On dispose de $n$ boules numérotées de $1$ à $n$. On les place toutes au hasard dans $n$ boites numérotées de $1$ à $n$, chaque boite pouvant contenir de zéro à $n$ boules.
Calculer la probabilité $P_n$ pour que chaque boite contienne exactement une boule. 0,5 pt
3. On pose $P_n=\dfrac{n!}{n^n}$, où $n!$ désigne « factoriel $n$ »
a) Montrer que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1$, on a : $\dfrac{P_n}{P_{n-1}}\ge 2$. 0,5 pt
b) En déduire l’inégalité : $P_n\le\dfrac{1}{2^{\,n-1}}$ pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1$. 0,75 pt
c) Calculer la limite de la suite $(P_n)$ quand $n$ tend vers $+\infty$. 0,75 pt
Partie B4 points
Soit $E^2$ un plan vectoriel rapporté à une base orthonormé $B=(\vec{i},\vec{j})$, $g$ l’endomorphisme de $E^2$ qui à un vecteur $\vec{u}=x\vec{i}+y\vec{j}$ associe le vecteur $\vec{u’}=(x+\dfrac{1}{2}y)\vec{i}+(-2x-y)\vec{j}$
1. a) Déterminer la matrice de $g$ dans la base $B$ et montrer que $g$ n’est pas bijective 0,75 pt
b) Déterminer le noyau $Ker\ g$ et l’image $Img\ g$ de $g$ 0,75 pt
c) En déduire que $Ker\ g=Img\ g$ 0,5 pt
2. Soit $\vec{v}$ un vecteur de $Ker\ g$.
Montrer qu’il existe un vecteur $\vec{u}$ de $E^2$ tel que $g(\vec{u})=\vec{v}$ 1 pt
3. Soit $\vec{e_1}$ et $\vec{e_2}$ de coordonnées respectives $(-1;2)$ et $(-1;1)$
a) Montre que $B’=(\vec{e_1},\vec{e_2})$ est une base de $E^2$ 0,5 pt
b) Donner la matrice de $g$ dans la base $B’$ 0,5 pt
Partie C4 points
Dans le plan $P$ rapporté à un repère orthonormé $(0,\vec{i},\vec{j})$, on définit les trois points $A(1;0)$; $B(\dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2})$ et $C(\dfrac{3}{2};-\dfrac{1}{2})$ et la droite $(D)$ dont une équation est $x=1$
1. a) Déterminer les coordonnées du points $G$ tel que $\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{AB}$ 0,25 pt
b) Quelle est la nature du quadrilatère $ABGC$ ? 0,25 pt
2. On note $(\Gamma)$ l’ensemble des points $M$ de $P$, de coordonnées $(x;y)$, qui vérifient la relation : $-MA^2+MB^2+MC^2=2(x-1)^2$
a) Montrer que $B$ et $C$ appartiennent à $(\Gamma)$. 0,5 pt
b) Montrer que $(\Gamma)$ est l’ensemble des points $M$ de $P$ tels que : $MG=a\sqrt{2}$; où $a$ désigne la distance du point $M$ à la droite $(D)$ 1 pt
c) En déduire la nature de $(\Gamma)$ et préciser son excentricité, un de ses foyers et la directrice associée 1 pt
3. Représenter $(\Gamma)$ dans le repère $(0,\vec{i},\vec{j})$ 1 pt
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Épreuve de mathématiques — BACCALAURÉAT C 2005
Conclusion du BACCALAURÉAT C 2005
D’abord, prenez le temps de relire l’énoncé avant de commencer les calculs. Ensuite, BACCALAURÉAT C 2005 devient plus simple quand vous organisez vos étapes. Puis, entraînez-vous à répartir les points et à écrire proprement vos résultats. Enfin, gardez confiance avec Ndolomath et revenez sur BACCALAURÉAT C 2005 régulièrement.
