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L’épreuve de mathématiques du BACCALAURÉAT C 2003
Exercice 14,5 points
Dans le plan rapporté à un repère orthonormé $ (O,\vec{i},\vec{j}) $, $ (D) $ désigne la droite d’équation $x=-\dfrac{3}{2}$ et $F$ le point de coordonnées $\left(\dfrac{3}{2},0\right)$.
1. (a) Écrire une équation cartésienne de la parabole $(P)$ de foyer $F$ et de directrice $(D)$. 1 pt
(b) Tracer $(P)$. 0,5 pt
2. On note $A$ le point de coordonnées $\left(\dfrac{3}{2},3\right)$, $A’$ le projeté orthogonal de $A$ sur $(D)$ et $(\Delta)$ la tangente à $(P)$ en $A$.
(a) Écrire une équation cartésienne de $(\Delta)$. 1 pt
(b) Démontrer que $(\Delta)$ est la bissectrice de l’angle $\left(\overrightarrow{AA’},\overrightarrow{AF}\right)$. 1 pt
3. (a) Préciser la nature du triangle $AA’F$. 0,5 pt
(b) En déduire que les points $F$ et $A’$ sont symétriques par rapport à $(\Delta)$. 0,5 pt
Exercice 24,5 points
Dans le plan orienté, on considère le triangle équilatéral $ABC$ tels que $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\equiv\dfrac{\pi}{3}\ [2\pi]$. On note :
$D$, le symétrique de $B$ par rapport à la droite $(AC)$ ;
$R$, la rotation d’angle $\dfrac{\pi}{3}$ qui transforme $A$ en $C$ ;
$E$, l’image de $B$ par $R$.
1. (a) Quelle est la nature précise du quadrilatère $ABCD$ ? 0,5 pt
(b) Démontrer que $D$ est le centre de la rotation $R$. 1 pt
(c) Démontrer que $C$ est le milieu du segment $[AE]$. 0,5 pt
2. À tout point $M$ de $[AB]$ distinct de $A$ et de $B$, on associe le point $M’$ de $[CE]$ tel que $AM=CM’$. Démontrer que le triangle $DMM’$ est équilatéral. 0,5 pt
3. Soit $G$ l’isobarycentre du triangle $DMM’$ et $s$ la similitude directe plane de centre $D$ qui transforme $M$ en $G$.
(a) Préciser le rapport et l’angle de $s$. 0,5 pt
(b) Démontrer que $s(B)=C$. 0,5 pt
(c) Construire le point $A’$ image de $A$ par $s$. 0,5 pt
(d) Démontrer que les points $C$, $G$ et $A’$ sont alignés. 0,5 pt
PROBLEME11 points
Le problème comporte deux parties indépendantes $A$ et $B$.
Partie A3 points
Dans l’espace, on considère :
un plan $(P)$,
deux points $A$ et $B$ n’appartenant pas à $(P)$
$\vec{u}$, un vecteur normal à $(P)$.
On note $(Q)$ l’ensemble des points $M$ de l’espace tels que $\overrightarrow{AM}\cdot(\overrightarrow{AB}\wedge\vec{u})=0$.
1. Démontrer que $(Q)$ est le plan perpendiculaire à $(P)$ contenant $A$ et $B$. 1,5 pt
2. Application numérique : l’espace est rapporté à un repère orthonormé $ (O,\vec{i},\vec{j},\vec{k}) $, on note $(P)$ le plan d’équation cartésienne $2x+y+z-3=0$ et les points $A$ et $B$ de coordonnées respectives $(-1,2,1)$ et $(1,-2,-1)$. Déterminer une équation cartésienne de $(Q)$. 1,5 pt
Partie B8 points
Dans tout ce problème on note :
$f$ la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=x-2+\ln\sqrt{x}$ ;
$g$ la fonction définie dans l’intervalle $[2;3]$ par $g(x)=x-f(x)$ ;
$(U_n)$ la suite définie par $\left\{\begin{array}{l}U_0=1\\ U_{n+1}=g(U_n)\end{array}\right.$
I. Étude des propriétés des fonctions $f$ et $g$
1. Dresser le tableau de variation de $f$. 1 pt
2. (a) Démontrer que la courbe de $f$ coupe l’axe des abscisses en un unique point $A$, on notera $x_0$ l’abscisse de $A$. 1 pt
(b) Démontrer que $x_0$ appartient à l’intervalle $[1,71875;1,72875]$. 1 pt
(c) En déduire que $|x_0-1,72375|<10^{-2}$ et donner une valeur approchée de $x_0$ à $10^{-2}$ près. 0,5 pt
3. Démontrer que :
(a) $g(x_0)=x_0 \Leftrightarrow f(x_0)=0$ 0,5 pt
(b) L’image par $g$ de l’intervalle $[1;2]$ est contenue dans $[1;2]$. 0,5 pt
(c) Pour tout $x$ de $[1;2]$, $|g'(x)|\le\dfrac{1}{2}$ 0,5 pt
II. Étude de la suite $(U_n)$
4. Démontrer par récurrence que, pour tout $n$ de $\mathbb{N}$, $U_n\in[1;2]$. 1 pt
5. Démontrer que, pour tout $n$ de $\mathbb{N}$, $|U_{n+1}-x_0|\le\dfrac{1}{2}|U_n-x_0|$ 1 pt
6. (a) En déduire par récurrence que, pour tout $n$ de $\mathbb{N}$, $|U_n-x_0|\le\left(\dfrac{1}{2}\right)^n$ 0,5 pt
(b) En déduire que la suite $(U_n)$ est convergente et déterminer la limite. 0,25 pt
(c) Démontrer que $U_3$ est une valeur approchée de $x_0$ à $125\cdot10^{-3}$ près. 0,25 pt
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Épreuve de mathématiques — BACCALAURÉAT C 2003
Conclusion du BACCALAURÉAT C 2003
D’abord, relis l’énoncé et repère les questions accessibles pour démarrer sans stress. Ensuite, BACCALAURÉAT C 2003 te rappelle d’écrire proprement chaque étape et chaque justification. Puis, Ndolomath t’encourage à vérifier les signes, les unités et les calculs avant de passer. Enfin, BACCALAURÉAT C 2003 t’aide à gérer le temps et à terminer sans oublier une question.
