D’abord, BACCALAURÉAT C 2001 te guide vers les attentes réelles, avec Ndolomath pour t’entraîner sereinement. Ensuite, BACCALAURÉAT C 2001 t’aide à gérer le temps et les points grâce à une lecture claire du sujet. Puis, BACCALAURÉAT C 2001 te rappelle les notions clés, expliquées dans la définition de l’examen. Enfin, BACCALAURÉAT C 2001 te met en confiance avant l’épreuve, en travaillant pas à pas.
L’épreuve de mathématiques du BACCALAURÉAT C 2001
Travail demandé
Exercice 13 points
Définition de l’ensemble et objectif
$a$ et $b$ sont deux entiers naturels non nuls; $E$ désigne l’ensemble des entiers relatifs $z$ tels qu’il existe deux entiers relatifs $x$ et $y$ vérifiant $z=ax+by$.
Questions
1. Démontrer que $E$ contient au moins deux entiers naturels non nuls. 0,5 pt
2. On note $d$ le plus petit entier naturel de $E$
a. Démontrer que tout multiple de $d$ appartient à $E$ 0,5 pt
b. Démontrer que tout élément $z$ de $E$ un multiple de $d$ (on pourra envisager la division) . 0,5 pt
c. En déduire que $E$ est l’ensemble des multiples de $d$ 0,5 pt
3. Démontrer que $d$ est le plus grand diviseur commun de $a$ et $b$ 0,5 pt
4. Application numérique :
Démontrer que l’ensemble des entiers relatifs $z$ de la forme $z=9801x+11664y$ est égal à l’ensemble des multiples de $81$ 0,5 pt
Exercice 23 points
Données et notations
$E$ désigne un espace vectoriel de dimension $3$ muni d’une base $(\vec i,\vec j,\vec k)$ et $f$ l’endomorphisme de $E$ défini par $f(\vec i)=\vec i$, $f(\vec j)=f(\vec k)=\dfrac{1}{2}(\vec j+\vec k)$.
On note $\mathrm{Ker}f$ le noyau de $f$, et $\mathrm{Im}f$ l’image de $f$.
Questions
1. Déterminer une base de $\mathrm{Ker}f$ 0,5 pt
2. Déterminer une base de $\mathrm{Im}f$ 0,5 pt
3. Démontrer que tout vecteur de $E$ s’écrit de manière unique comme somme d’un vecteur de $\mathrm{Ker}f$ et d’un vecteur de $\mathrm{Im}f$ 0,5 pt
4. a. Vérifier que $f\circ f=f$ 0,5 pt
b. Démontrer que $\vec u\in \mathrm{Im}f \Leftrightarrow f(\vec u)=\vec u$ (on utilisera 4.a) 1 pt
Exercice 33 points
Configuration géométrique
Sur la figure ci-contre $ABCD$ est un tétraèdre. On appelle $I,J,K,L,M$ et $N$ les milieux respectifs des segments $[AB]$, $[CD]$, $[BC]$, $[AD]$, $[AC]$, $[BD]$. $G$ est l’isobarycentre des quatre sommets du tétraèdre.
Questions
1. Démontrer que les droites $(IJ)$, $(KL)$ et $(MN)$ sont concourantes en $G$. 1 pt
2. $A’$ désigne le centre de gravité du triangle $ABC$. Montrer que les points $D$, $G$ et $A’$ sont alignés. 1 pt
Construction par transformations
3. Dans cette partie, on suppose l’espace orienté, les triangles $BCD$, $BAD$ et $BCA$ sont isocèle et rectangles en $B$.
On note $R_1$ le demi-tour d’axe $(BA)$,
$R_2$ la rotation d’axe $(BD)$ qui transforme $C$ en $A$.
Refaire une autre figure et compléter en construisant les images respectives $A_1$, $B_1$ et $C_1$ des points $A$, $B$ et $C$ par $R_1$, puis les images $A_2$, $B_2$ et $C_2$ des $A_1$, $B_1$ et $C_1$ par $R_2$ (On ces points images au cas où elles sont des points de la figure) 1 pt
Problème11 points
Organisation du problème
Le problème comporte deux parties indépendantes $A$ et $B$
Partie A4,5 points
Données du repère et définitions
On considère un plan rapporté à un repère orthonormé $(O,\vec i,\vec j)$ (toutes les coordonnées seront données par rapport à ce repère) On note :
$G$ l’application du plan sur lui-même qui, à tout point $M(x,y)$, associe le point $M'(x’,y’)$ tel que $ \left\{\begin{array}{l}x’=\dfrac{6}{5}x+\dfrac{2}{5}y+1\\y’=\dfrac{2}{5}x+\dfrac{9}{5}y+2\end{array}\right.$
$M »$ est le symétrique de $M’$ par rapport à $M$
$A_0$ est le point de coordonnées $(3;1)$
$(A_n)_{n\in \mathbb{N}}$ est la suite des points définies par $A_{n+1}=g(A_n)$
$(x_n,y_n)$ sont les coordonnées de $A_n$
Questions
1. Démontrer que le vecteur $\overrightarrow{MM’}$ a une direction fixe et indépendante de $M$ 1 pt
2. Déterminer l’ensemble des points $M »$ lorsque $M$ décrit $(P)$ 0,5 pt
3. Déduire des questions 1 et 2 une construction géométrique du point $M’$ lorsque $M$ est connu. 0,5 pt
4. a. Démontrer que les points $A_n$ appartiennent tous à la droite d’équation cartésienne $2x-y=0$ 0,5 pt
b. En déduire que pour tout entier naturel $n$, on a : $x_{n+1}=2x_n-1$ 0,5 pt
5. a. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $x_n$ et $y_n$ sont des nombres entiers 0,5 pt
b. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $x_n=2^{n+1}+1$ 0,5 pt
c. En déduire que la suite $(x_n)$ est convergente. 0,5 pt
Partie B6,5 points
Données : fonction, équations et notations
On considère :
La fonction de la variable réelle $x$ telle que : $f(x)=e^{3x-3}+x$
Les équations différentielles $(E)$: $y »-y’-6y=6x-1$ et $(E’)$: $y »-y’-6y=0$
On note:
$(C)$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé du plan (unité de longueur sur les axes, $2$ cm );
$(D)$ la partie du plan définie par les droites d’équations $x=0$, $y=x$, $x=\lambda(\lambda>0)$ et la courbe $(C)$
$a_\lambda$ l’aire en $cm^2$ de $(D)$ en fonction de $\lambda$
Étude de la courbe et des limites
1. Dresser le tableau de variation de la fonction $f$. 0,5 pt
2. Démontrer que $(C)$ coupe l’axe des abscisses en un point $A$ dont l’abscisse $\alpha$ vérifie $-1<\alpha<0$ 0,5 pt
3. a. Démontrer que lorsque $x$ tend vers $-\infty$, $(C)$ admet la droite d’équation $y=x$ comme asymptote oblique. 0,5 pt
Préciser la position de $(C)$ par rapport à cette asymptote. 0,5 pt
b. Etudier le comportement de $(C)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ 0,5 pt
c. Tracer $(C)$ 0,5 pt
Aire associée
4. a. Calculer $a_\lambda$ 0,5 pt
b. En déduire la limite de $a_\lambda$ lorsque $\lambda$ tend vers $+\infty$ 0,5 pt
Résolution d’équations différentielles
5. On se propose de résoudre l’équation $(E)$.
a. On admet qu’il existe une fonction affine $g$ solution de $(E)$. On pose, pour tout $x$ de $\mathbb{R}$, $g(x)=ax+b$. Calculer alors $a$ et $b$. 0,5 pt
b. Soit $h$ une fonction numérique de la variable réelle $x$ deux fois dérivable. Démontrer que $h$ est solution de $(E)$ si, et seulement si, $h-g$ est solution de $(E’)$ 0,5 pt
c. Résoudre $(E’)$ 0,5 pt
d. En déduire l’ensemble des solutions de $(E)$. 0,5 pt
e. Démontrer que la fonction $f$ est la solution de $(E)$ vérifiant $f(1)=2$ et $f'(1)=4$. 0,5 pt
Télécharger l’épreuve de maths du BACCALAURÉAT C 2001
Épreuve de mathématiques — BACCALAURÉAT C 2001
Conclusion du BACCALAURÉAT C 2001
D’abord, reprends l’essentiel du sujet et classe les questions du plus simple au plus exigeant. Ensuite, BACCALAURÉAT C 2001 mérite une gestion du temps, en sécurisant vite les points faciles. Puis, appuie-toi sur les méthodes connues et vérifie chaque calcul avant de passer à la suite. Enfin, avec Ndolomath, BACCALAURÉAT C 2001 devient un entraînement sérieux, sans stress inutile.
