Sujet d’évaluation de maths 4e séquence 1ère D

Partie A : Évaluation des ressources 15 points

Exercice 1 3 points

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $(E)$ : $-x^2+5x+50=0$. 0,5 pt
2. Soit $x$ un réel strictement positif et petit devant $l$. HAMIDOU dispose d’un champ rectangulaire $ABCD$ de $70\text{ m}$ de long sur $30\text{ m}$ de large. On augmente la largeur de $x$ mètres et on diminue la longueur de $2x$ mètres comme l’indique la figure ci-contre.
   
   1. Exprimer en fonction de $x$ l’aire de $AGFE$ et l’aire de $EHCD$. 1 pt
   2. Sachant que l’aire de $EHGE$ est de $2000\text{ m}^2$, montrer que $x$ vérifie l’équation $(E)$. 1 pt
   3. Déterminer alors la valeur de $x$. 0,5 pt

Exercice 2 3,5 points

Une urne contient $10$ boules dont $3$ de couleur rouge, $4$ de couleur bleue et $3$ de couleur jaune. On tire simultanément $3$ boules de cette urne. Déterminer le nombre total de tirages dans les cas suivants :

1. Les trois boules tirées sont quelconques. 0,5 pt
2. Les trois boules tirées ont la même couleur. 0,75 pt
3. On a exactement une boule de couleur bleue. 0,75 pt

Le tirage d’une boule bleue rapporte $100\text{F}$, celui d’une boule rouge $50\text{F}$ et le tirage d’une boule jaune fait perdre $25\text{F}$. On appelle gain algébrique la somme obtenue sur trois boules tirées.

4. Quels sont les différents gains possibles ? 1,5 pt

Exercice 3 5 points

On considère dans le plan trois points non alignés $A$, $B$ et $C$ tels que $AB=4$, $AC=2$ et $BC=3$ (unité en cm). Soient les points $I$, $J$, $K$ du plan tels que $I$ soit le milieu de $[BC]$, $2\overrightarrow{BJ}+3\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{0}$, $\overrightarrow{AK}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}$, et $G$ le barycentre du système de points pondérés $\{(A,3);(B,-1);(C,-1)\}$.

1. Montrer que $AI^2=31$. 0,5 pt
2. Écrire le point $J$ comme barycentre des points $A$ et $B$ puis déterminer les réels $x$ et $y$ tels que $K$ soit barycentre des points pondérés $(A,x)$ et $(C,y)$. 1 pt
3. Montrer que les droites $(AI)$, $(JC)$ et $(KB)$ sont concourantes en $G$. 1 pt
4. Montrer que $\overrightarrow{AG}+2\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{0}$ et en déduire que $AG^2=31$. 0,5 pt
5. Soit $(C)$ l’ensemble des points $M$ du plan tels que : $-3MA^2+MB^2+MC^2=20$.
   1. Vérifier que $A$ appartient à $(C)$. 0,5 pt
   2. Montrer que pour tout point $M$ du plan, on a : $-3MA^2+MB^2+MC^2=-MG^2-3AG^2+BG^2+CG^2$. 0,5 pt
   3. Montrer que $BG^2=90a^2$. 0,5 pt
   4. Déterminer et construire $(C)$ sachant que $CG^2=54$. 1 pt

Exercice 4 4,5 points

On note $(E)$ l’équation $4x^2-(2+\sqrt{3})x+\sqrt{3}=0$ et $(E')$ : $4\cos^2 x-(2+\sqrt{3})\cos x+\sqrt{3}=0$.

1. Vérifier que $\dfrac{1}{2}$ est une solution de $(E)$, puis déterminer la deuxième solution. 1 pt
2. Déterminer toutes les solutions de $(E')$ dans $\mathbb{R}$. 1 pt

II- On considère la fonction $f(x)=\dfrac{x^2-3x+5}{x-1}$.

1. Donner le domaine de définition de $f$. 0,5 pt
2. Calculer les limites de $f$ aux bornes de son domaine. 1 pt
3. Démontrer que le point $A(1;-1)$ est un centre de symétrie à la courbe de $f$. 1 pt

Partie B : Évaluation des compétences 5 points

Situation

Accompagné de ses trois garçons, Mr Essomba se rend avec son véhicule à sa plantation située à $600\text{ Km}$ de son domicile. Cette plantation a la forme d’un rectangle $ABCD$ de longueur $AB$ et de largeur $AD$. Ce jardin est clôturé et séparé en deux par le segment $[EF]$. Il faut $180$ mètres de grillage pour entourer le jardin et faire la séparation $[EF]$. L’aire de ce jardin est de $1200\ \text{m}^2$.

Paul, l’aîné des garçons, fait remarquer que si la vitesse avait été $16\ \text{km/h}$ de plus, ils auraient mis $1$ heure et quart de moins pour arriver à la plantation. Une fois à la plantation, Mr Essomba partage les espaces pour le défrichage : l’aîné Paul aura le tiers de la plantation, le second Henri aura le tiers du reste et le benjamin Pascal aura le tiers du reste après ses frères. La dernière portion sera défrichée par le papa lui-même.

1. Déterminer les dimensions de la plantation de Mr Essomba. 1,5 pt
2. Quelle était la vitesse moyenne du véhicule de Mr Essomba en allant à la plantation ? 1,5 pt
3. Quelle fraction de la plantation a été défrichée par Mr Essomba ? 1,5 pt

Présentation : 0,5 pt