Sujet d’évaluation de maths 3e séquence Première D

Partie A : Évaluation des ressources 15 points

Exercice 1 4 points

On considère l’équation $(E)$ : $\sin 3x = \sin 2x$.

1. Résoudre $(E)$ dans l’intervalle $]-\pi;\pi]$, puis représenter les points images des solutions sur le cercle trigonométrique (unité graphique : $2\,\text{cm}$). 1,5 pt
2. 1. Démontrer que pour tout nombre réel $x$ : $\sin 3x = \sin x(4\cos^2 x - 1)$. 0,75 pt
   2. En déduire que l’équation $(E)$ est équivalente à : $\sin x(4\cos^2 x - 2\cos x - 1)=0$. 0,5 pt
   3. Quelles sont, parmi les solutions de $(E)$ trouvées à la question 1, celles qui sont solutions de : $(E'):\;4\cos^2 x - 2\cos x - 1 = 0$ ? 0,5 pt
3. 5. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation : $4t^2 - 2t - 1 = 0$. 0,5 pt
   6. En déduire la valeur exacte de $\cos\left(\dfrac{\pi}{5}\right)$. 0,25 pt

Exercice 2 3,75 points

$ABC$ est un triangle équilatéral de côté $4$. $D$ est le point du plan tel que : $3\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}=\vec{0}$.

1. Démontrer que $D$ est le barycentre des points $A$, $B$ et $C$ affectés des coefficients $2$, $-1$ et $2$ respectivement. 0,5 pt
2. $I$ étant le milieu de $[AC]$, démontrer que $D$ est le barycentre des points $B$ et $I$ affectés des coefficients que l’on déterminera. 0,5 pt
3. En déduire que $D$ appartient à la médiatrice de $[AC]$. 0,25 pt
4. Vérifier que : $AD^2 = CD^2 = \dfrac{49}{8}$ et $BD^2 = \dfrac{192}{49}$. 0,75 pt
5. On considère l’ensemble $(E)$ des points $M$ du plan tels que : $2MA^2 - MB^2 + 2MC^2 = 16$.
   1. Vérifier que le centre de gravité $O$ de $ABC$ appartient à $(E)$. 0,5 pt
   2. Déterminer l’ensemble $(E)$ puis le construire. 1,25 pt

Exercice 3 3,5 points

Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O;I;J)$. On considère la fonction $f$ définie de $\mathbb{R}\setminus\{2\}$ vers $\mathbb{R}\setminus\{3\}$ par : $f(x)=\dfrac{3x-5}{x-2}$. $C$ est sa représentation graphique. On note $H$ l’hyperbole d’équation $y=\dfrac{1}{x}$.

1. Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que, pour tout $x\neq2$ : $f(x)=a+\dfrac{b}{x-2}$. 0,5 pt
2. Montrer que $f$ est bijective et déterminer sa bijection réciproque $f^{-1}$. 1 pt
3. Montrer que le point $A(2;3)$ est un centre de symétrie de $C$. 0,75 pt
4. Tracer la courbe $H$. 0,5 pt
5. Déduire la représentation graphique de $C$. 0,75 pt

Exercice 4 3,75 points

Une urne contient $5$ boules portant les numéros suivants : $-1$, $-\sqrt{2}$, $0$, $1$, $\sqrt{2}$. On tire successivement et avec remise $2$ boules de cette urne et on note les numéros des boules tirées.

1. Déterminer le nombre de tirages possibles. 0,5 pt
2. Déterminer le nombre de tirages dans les cas suivants :
   1. La somme des numéros obtenus est égale à $0$. 0,5 pt
   2. Le produit des numéros obtenus est nul. 0,75 pt
   3. La première boule tirée porte le numéro $1$. 0,5 pt
   4. On note $a$ le numéro de la première boule et $b$ celui de la deuxième boule. Déterminer $a$ et $b$ pour que l’équation $ax+b=0$ ait pour solution $\sqrt{2}$. 0,75 pt
   5. On note $E$ l’équation : $4x^2-\sqrt{2}x-1=0$. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $E$. 0,75 pt

Partie B : Évaluation des compétences 5 points

Situation

Mr Kuate est un commerçant possédant un terrain rectangulaire dont une diagonale a pour longueur $75\,\text{m}$ et de superficie $2700\,\text{m}^2$ ; il ignore les dimensions exactes de son terrain. Il veut sécuriser son terrain avec trois tours de fil qui coûte $800\,\text{F}$ le mètre.

Il a aménagé deux espaces $A$ et $B$ dans ce terrain pour élever des porcs, des poules et des chèvres. L’espace $A$ est réservé pour l’élevage des poules et des chèvres et comporte $60$ têtes et $144$ pattes d’animaux. L’espace $B$ est réservé pour l’élevage des porcs. Le nombre de porcs est la somme de la moitié de celui des chèvres et du tiers de celui des poules, et le prix d’achat de chaque porc est $26\,500\,\text{F}$.

Pour aménager les deux espaces, il a recruté un certain nombre de maçons qui doivent se partager équitablement la somme de $57\,000\,\text{F}$ représentant leur paie. Le jour du travail, deux maçons sont absents et chacun des maçons restants a vu son dû augmenter de $2\,375\,\text{F}$.

Tâches

1. Déterminer la part de chaque maçon à la fin du travail. 1,5 pt
2. Déterminer le coût total des fils nécessaires à l’entourage du champ. 1,5 pt
3. Déterminer le coût total des porcs. 1,5 pt