Sujet d’évaluation de maths 2e séquence Première D

Exercice 1 : 03 Points

A- Une équation $(E)$ admet deux solutions $x_1$ et $x_2$ vérifiant : $\begin{cases} x_1x_2+2x_1+2x_2=3\\ x_1-2x_1x_2+x_2=4 \end{cases}$

1- Reformer cette équation. 0.75pt

2- En déduire les valeurs de $x_1$ et $x_2$. 0.75pt

B- La jeune Françoise, ne voulant pas épouser un riche homme d’affaire que lui proposaient ses parents, le trouvait trop âgé pour elle. En effet, il avait trois fois son âge. Son père lui demanda : « Mais si au lieu du triple, il avait juste le double ? ». La jeune fille répondit : « alors j’accepterais ». Françoise a dû épouser l’homme d’affaires lorsque celui-ci eut ses $64$ ans. Quel était alors l’âge de la jeune fille et de l’homme d’affaire lors de la demande en mariage ? 1.5pt

Exercice 2 : 06 Points

A- On considère les fonctions $f$ et $g$ définies par : $f(x)=\dfrac{x+1}{x^2-11-x+1}$ ; $g(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}$.

1- Déterminer les ensembles de définition de $f$ et $g$. 1pt

2- Montrer que lorsque $g(x)$ existe, on a : $g(x)=\sqrt{x+1}-\sqrt{x}$. 0.5pt

3- Déterminer la valeur exacte du nombre $m=\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\cdots+\dfrac{1}{\sqrt{10}+\sqrt{9}}$. 1pt

B- On considère une fonction $h$ du second degré vérifiant $h(1)=1$, $h(-2)=-20$ et $h(3)=-5$, avec $h(x)=ax^2+bx+c$.

1- a) Montrer que le triplet $(a,b,c)$ est solution du système : $\begin{cases} a+b+c=1\\ 4a-2b+c=-20\\ 9a+3b+c=-5 \end{cases}$ 0.5pt

b) Déterminer l’expression de $h(x)$ en fonction de $x$. 1.5pt

2- On pose $t(x)=\dfrac{-2x^2+5x-2}{x^2-4}$ ; $k(x)=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{x}$ et $p=k\circ t$.

a) Déterminer les ensembles de définition des fonctions $t$ et $k$. 1pt

b) Déterminer l’ensemble de définition $D_p$ de $p$. 0.5pt

c) Montrer que pour tout $x\in D_p$, $p(x)=\dfrac{x-2}{1-2x}$. 0.5pt

PROBLÈME : 11 Points

Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on considère un triangle équilatéral $ABC$ de centre $O$. On désigne par $(C)$ le cercle circonscrit au triangle $ABC$. $I$ est le milieu du segment $[AB]$ et $J$ est le milieu de $[OI]$. Les droites $(OA)$ et $(OC)$ coupent le cercle $(C)$ respectivement en $D$ et $E$. On donne $OA=4\ \text{cm}$. On fera une figure que l’on complètera au fur et à mesure.

Partie A : (03.5 Points)

1- On désigne par $G$ l’isobarycentre des points $A,B,C,D$ et $E$.

a) Démontrer que $\overrightarrow{OG}=\dfrac{1}{5}\overrightarrow{OB}$. 0.75pt

b) En remarquant que $O$ est milieu de $[CE]$, écrire $G$ comme barycentre des points $I$, $C$ et $D$. 0.5pt

c) En déduire que $G$ est le barycentre des points $J$ et $D$ affectés des coefficients respectifs $4$ et $1$. 0.5pt

d) Justifier que les droites $(OB)$ et $(DJ)$ se coupent en $G$. Placer $G$ sur la figure. 0.5pt

2- Soit $(T)$ l’ensemble des points $M$ du plan tels que $MA^2=3MB^2$.

a) Déterminer et construire $(T)$. 1pt

b) Que représente $(T)$ pour le cercle $(C)$ ? 1pt

Partie B : (05.5 Points)

$F$ et $H$ sont deux points tels que $ADFH$ est un carré de côté $8\ \text{cm}$. On place sur les segments $[AD]$, $[DF]$, $[FH]$ et $[HA]$ les points respectifs $M,N,P$ et $Q$ tels que $AM=DN=FP=HQ=x$.

1- Placer sur la figure les points $F,H,M,N,P$ et $Q$. 0.5pt

2- Quelles sont les valeurs extrêmes de $x$ ? 0.5pt

3- Montrer que le produit scalaire des vecteurs $\overrightarrow{MN}$ et $\overrightarrow{MQ}$ est nul. 0.75pt

4- Vérifier que $MN=\sqrt{2x^2-16x+64}$. 0.75pt

5- En déduire que le quadrilatère $MNPQ$ est un carré. 0.75pt

6- On désigne par $\mathcal{A}(x)$ l’aire du carré $MNPQ$.

a) Exprimer $\mathcal{A}(x)$ en fonction de $x$. 0.5pt

b) Déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles $\mathcal{A}(x)=34\ \text{cm}^2$. 1pt

c) Montrer que pour tout $x\in]1,7[$, $\mathcal{A}(x)<50$. 1pt

Partie C : (02 Points)

On admet que $G=\text{bar}((B,1),(O,4))$. On considère le point $K=\text{bar}((B,1),(O,-4))$. $(E)$ désigne l’ensemble des points $M$ du plan tels que $\dfrac{MB}{MO}=4$.

1- Montrer que $MB^2=4(MB^2+MO^2)-(MB-MO)^2$. 0.75pt

2- Déterminer l’ensemble $(E)$. 0.75pt

3- Construire $(E)$ sur la figure. 0.5pt