Sujet de maths 4e séquence 1ère D

Exercice 1 4,5 points

La suite $(u_n)$ est définie par $u_1=\dfrac12$, $u_{n+1}=\dfrac{u_n}{2}+\dfrac{n}{6}+\dfrac13$, et la suite $(v_n)$ définie par $v_n=2u_n-\dfrac{2n}{3}$.

1. Démontrer que $(v_n)$ est une suite géométrique. Préciser son premier terme et sa raison. 1 pt
2. Calculer $u_2$ et $u_3$, puis $v_2$ et $v_3$. 0,25 pt × 4
3. Calculer $v_n$ et $u_n$ en fonction de $n$. 0,75 pt × 2
4. Calculer la somme $S_n=v_1+v_2+\cdots+v_n$. 0,5 pt
5. Quelle est la nature de la suite $(S_n)$ ? 0,5 pt

Exercice 2 4,5 points

1. Une urne contient six boules : une blanche, deux noires et trois jaunes. On extrait simultanément deux boules de cette urne.
   1. De combien de manières différentes peut-on effectuer ces tirages ? 0,25 pt
   2. Déterminer le nombre de tirages distincts pour lesquels :
      1. on a deux boules de même couleur ; 0,5 pt
      2. la boule blanche apparaît ; 0,5 pt
      3. aucune boule noire n’apparaît. 0,25 pt
2. Dans une classe de première, on étudie les langues suivantes : anglais, chinois et allemand. Chaque élève étudie au moins une langue. $5$ étudient les trois langues, $7$ l’anglais et l’allemand, $8$ l’anglais et le chinois, $9$ l’allemand et le chinois. Enfin, $20$ étudient seulement l’anglais, $15$ l’allemand et $18$ le chinois. Quel est l’effectif de cette classe ? 1 pt
3. Soient $A$ et $B$ deux ensembles finis tels que $\text{Card}(A)=9$, $\text{Card}(B)=6$ et $\text{Card}(A\cup B)=12$. Calculer $\text{Card}(A\cap B)$ et $\text{Card}(A\setminus B)$. 1 pt
4. Résoudre dans $\mathbb{N}$ l’équation : $C_n^1 - C_n^2 = -5n$. 1 pt

Problème 11 points

Le problème comporte deux parties indépendantes A et B.

Partie A 3,25 pts

Soit $A$ l’expression définie par : $A(x)=2\cos^2 x-2\sqrt{3}\sin x\cos x-1$.

1. Montrer que $A(x)=a\cos 2x+b\sin 2x$ où $a$ et $b$ sont à déterminer. 0,5 pt
2. Montrer que $A(x)=a\cos(2x+\alpha)$ où $a$ et $\alpha$ sont à déterminer. 0,75 pt
3. Résoudre dans $[0;2\pi[$ l’équation $A(x)=1$ et représenter les images des solutions sur le cercle trigonométrique. 1,25 pt
4. Résoudre dans $[0;2\pi[$ l’inéquation $A(x)\ge 1$. 0,75 pt

Partie B 7,75 pts

$a$, $b$ et $c$ sont des nombres réels. On considère la fonction $f$ définie par : $f(x)=\dfrac{ax^2+bx+c}{x-1}$, et son tableau de variation est donné ci-dessous.

1. Déterminer l’ensemble de définition de $f$. 0,25 pt
2. 1. Déterminer $f(0)$, $f(2)$ et $f'(0)$. 0,75 pt
   2. En déduire les réels $a$, $b$ et $c$. 1,5 pt
3. Soit la fonction $g$ définie par : $g(x)=\dfrac{x^2-x+1}{x-1}$, et $(C_g)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal.
   1. Dresser le tableau de variation de $g$. 0,5 pt
   2. Montrer que le point $G(1;1)$ est centre de symétrie de $(C_g)$. 0,75 pt
   3. Déterminer l’asymptote verticale et montrer que la droite $y=x$ est une asymptote oblique de $(C_g)$. 1 pt
   4. Déterminer le point de rencontre de $(C_g)$ avec l’axe des ordonnées. 0,5 pt
   5. Construire $(C_g)$. 1 pt
   6. Déterminer suivant les valeurs du paramètre réel $m$, le nombre de solutions de l’équation $g(x)=m$. 1 pt
   7. On pose $h(x)=|g(x)|$. Représenter dans le même repère la courbe $(C_h)$ de $h$. 0,5 pt