Sujet de maths 3e séquence 1ère D

EXERCICE 1 : Dénombrement (3 pts)

1. Résoudre dans $\mathbb{N}$ l’inéquation suivante : $A_n^2 + 34 = A_{20}^2$. 0,75 pt
2. Un sac contient 3 boules vertes, 4 boules rouges et 5 boules blanches indiscernables au toucher. On extrait au hasard et simultanément trois boules du sac.
   1. Quel est le nombre de tirages possibles ? 0,5 pt
   2. Quel est le nombre de possibilités d’obtenir :
      1. Uniquement des boules de couleur rouge ? 0,5 pt
      2. Trois boules de couleurs différentes ? 0,5 pt
      3. Au moins deux boules blanches ? 0,75 pt

EXERCICE 2 : Trigonométrie 4,75 pts

1. Déterminer la mesure principale des angles suivants : $\alpha=\dfrac{17\pi}{3}$ et $\beta=-\dfrac{193\pi}{4}$. 0,5 pt
2. On veut résoudre l’équation : $\sin^4 x+\cos^4 x=\dfrac{3}{4}$.
   1. Montrer que $a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$. 0,25 pt
   2. Exprimer $\sin x\cos x$ en fonction de $\sin 2x$. 0,25 pt
   3. En déduire que : $\sin^4 x+\cos^4 x=1-\dfrac{1}{2}\sin^2 2x$. 0,5 pt
   4. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation : $\sin^4 x+\cos^4 x=\dfrac{3}{4}$. 0,75 pt
3. On considère l’équation $(E)$ : $4\sin^2 x+2(\sqrt{2}-\sqrt{3})\sin x-\sqrt{6}=0$.
   1. Vérifier que : $\sqrt{5}+2\sqrt{6}=\sqrt{2}+\sqrt{3}$. 0,25 pt
   2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation : $4t^2+2(\sqrt{2}-\sqrt{3})t-\sqrt{6}=0$. 0,75 pt
   3. En déduire les solutions dans $[0;2\pi]$ de l’équation $(E)$. 1 pt
   4. Placer sur le cercle trigonométrique les images des solutions de $(E)$. 0,5 pt

PROBLÈME : Barycentres et Généralités sur les fonctions

PARTIE A 4 pts

Soient les fonctions $h$ et $g$ définies par : $h$ de $\mathbb{R}\setminus\{4\}$ vers $\mathbb{R}\setminus\{3\}$ par $h(x)=\dfrac{3x+5}{x-4}$ et $g(x)=3x^2-6x$.

1. Montrer que le point $\Omega(4;3)$ est centre de symétrie de la courbe $(C_h)$. 0,75 pt
2. Montrer que $h$ est une bijection et déterminer sa bijection réciproque $h^{-1}$. 0,75 pt
3. Expliquer comment on peut construire la courbe $(C_{h^{-1}})$ à partir de la courbe de $h$. 0,25 pt
4. Déterminer deux nombres réels $a$ et $b$ tels que, pour tout $x\in D_h$, on ait : $h(x)=a+\dfrac{b}{x-4}$. 0,5 pt

1. Étudier la parité de la fonction $g$. 0,5 pt
2. Montrer que la droite $(\Delta)$ d’équation $x=1$ est axe de symétrie de $(C_g)$. 0,5 pt
3. Déterminer $D_{f\circ g}$ et calculer $(f\circ g)(x)$ en fonction de $x$. 0,75 pt

PARTIE B 1,75 pts

$ABC$ est un triangle. On désigne par : $D$ le symétrique de $B$ par rapport à $A$, $I$ le milieu de $[AC]$, $J$ le point tel que $\overrightarrow{BJ}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC}$ et $K$ le point tel que $\overrightarrow{AK}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}$.

1. Faire la figure. 0,5 pt
2. Démontrer que les points $D$, $I$ et $J$ sont alignés. 0,5 pt
3. Démontrer que les droites $(AJ)$, $(BI)$ et $(CK)$ sont concourantes. 0,75 pt

PARTIE C 3,25 pts

Le plan est muni du repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$. On considère les points $A(1;4)$, $B(1;1)$ et $C(-3;1)$.

1. Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés. 0,25 pt
2. $(\mathcal{C})$ désigne le cercle circonscrit au triangle $ABC$.
   1. Montrer qu’une équation cartésienne de $(\mathcal{C})$ est : $x^2+y^2+2x-5y+1=0$. 0,75 pt
   2. En déduire une représentation paramétrique de $(\mathcal{C})$. 0,5 pt
3. On considère l’ensemble $(\mathcal{C}_1)$ des points $M$ du plan tels que : $4MA^2+5MB^2+3MC^2=72$.
   1. Déterminer les coordonnées de $G$, barycentre des points $(A,4)$, $(B,5)$ et $(C,3)$. 0,25 pt
   2. Calculer les distances $GA^2$, $GB^2$ et $GC^2$. 0,75 pt
   3. Montrer que $(\mathcal{C}_1)$ est un cercle dont on précisera le centre et le rayon. 0,75 pt

PARTIE D 3,25 pts

Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O,I,J)$. $A$, $B$ et $C$ sont trois points du plan tels que $A(3;0)$, $B(-3;1)$ et $C(1;0)$. Soit $I$ le milieu de $[AB]$, $G_m$ le barycentre du système $\{(A,m);(B,2);(C,4)\}$.

1. Déterminer les valeurs de $m$ pour lesquelles $G_m$ existe. 0,25 pt
2. Déterminer la valeur de $m$ pour que $G_m$ soit le milieu du segment $[IC]$. 0,5 pt
3. On pose $\vec{u}=\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+4\overrightarrow{MC}$ et $m=2$.
   1. Montrer que $\vec{u}=8\overrightarrow{MG_2}$. 0,5 pt
   2. En déduire la nature et les éléments caractéristiques de l’ensemble $(E)$ des points $M$ tels que $|\vec{u}|=24$. 0,5 pt × 2
4. Soit $(F)$ l’ensemble des points $M(x;y)$ du plan tels que : $\vec{u}\cdot\overrightarrow{MC}=0$.
   1. Montrer que $G_2$ a pour coordonnées $(1;2)$. 0,5 pt
   2. Déterminer une équation cartésienne de $(F)$. 0,5 pt