Sujet de composition 4e séquence maths Première D

Évaluation des ressources

Exercice 1 3,75 pts

1. Calculer les réels suivants et donner les valeurs exactes :
   $a=\cos \dfrac{\pi}{6},\quad b=\sin \dfrac{\pi}{6},\quad c=\sin \dfrac{\pi}{3}$
   0,5 × 3 pts
2. Résoudre dans $]-\pi;\pi]$ l’équation : $\cos x+\sqrt{3}\sin x=\sqrt{3}$. 1,5 pts
3. Représenter sur un cercle trigonométrique l’ensemble solution de l’inéquation : $\cos x+\sqrt{3}\sin x\ge \sqrt{3}$. 1,5 pts

Exercice 2 4 pts

On se donne le polynôme $P(x)=x^3-7x+6$.

1. Vérifier que $-3$ est racine de $P$. 0,25 pt
2. En déduire les réels $a$, $b$ et $c$ tels que $P(x)=(x+3)(ax^2+bx+c)$. 0,25 × 3 pts
3. En utilisant le discriminant, factoriser l’expression $ax^2+bx+c$ puis déduire la solution de l’équation $P(x)=0$. 0,5 + 0,5 pt
4. Grâce à un tableau de signe, résoudre les inéquations $P(x)\ge 0$ et $P(x)<0$. 1 + 1 pts

Exercice 3 4 pts

L’unité de longueur est le cm. $A$ et $B$ sont deux points du plan distants de $4\text{ cm}$. On se donne la ligne de niveau $(E)$ : $\dfrac{MA}{MB}=3$.

1. Montrer que $(E)$ peut encore s’écrire : $MA^2-9MB^2=0$. 0,5 pt
2. Développer l’expression : $(\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB})\cdot(\overrightarrow{MA}-3\overrightarrow{MB})$. 1 pt
3. Soient $I=\mathrm{bar}\{(A,1),(B,-3)\}$ et $J=\mathrm{bar}\{(A,1),(B,3)\}$. Déduire de 1) et 2) que $(\overrightarrow{MA}-3\overrightarrow{MB})\cdot(\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB})=0$ équivaut à $\overrightarrow{MI}\cdot\overrightarrow{MJ}=0$. 1 pt
4. En déduire la nature et une construction de $(E)$. 1 pt

Exercice 4 2,75 pts

On se donne la fonction $f$ dont le graphe est donné par la figure sur la page suivante.

1. Déterminer les images par $f$ de : $-2;\,-1;\,0;\,1$ et $2$. 0,25 × 5 pts
2. Déterminer les images par $f$ des intervalles : $[-2;0]$ et $[-1;2]$. 0,75 × 2 pts

Évaluation des compétences

Une entreprise fabrique des jouets en bois qui nécessitent :

• $2\text{ kg}$ de bois et $3\text{ h}$ de travail, pour $1$ camion ;
• $500\text{ g}$ de bois et $4\text{ h}$ de travail, pour $1$ patin ;
• $800\text{ g}$ de bois et $3\text{ h }30\text{ min}$ de travail, pour un chien à trainer.

Une équipe travaille pendant $313\text{ h}$, utilise $91\text{ kg}$ de bois et fabrique $89$ jouets au total.

L’entreprise décide de la suite de vendre ses productions et offre au customer deux options d’achat :

• Option A : Le customer souscrit $2000\text{ F}$ et paie $50\text{ F}$ le camion, $150\text{ F}$ le patin et $100\text{ F}$ le chien à trainer.
• Option B : Le customer ne souscrit pas mais paie $100\text{ F}$ le camion, $250\text{ F}$ le patin et $200\text{ F}$ le chien à trainer.

M. Jean est un customer fidèle et souhaite acheter $5$ camions, $7$ patins et $3$ chiens à trainer.

Tâches

1. Combien de camions, de patins et de chiens à trainer l’entreprise fabriquera-t-elle ? 1,5 pts
2. Quelle option est bénéfique pour M. Jean ? 1,5 pts
3. Pour $5$ camions et $3$ chiens à trainer achetés par vous, quel nombre minimal de patins faut-il acheter pour que l’option A vous soit bénéfique ? 1,5 pts