D’abord, le PROBATOIRE D 2021 te guide pour organiser tes révisions avec méthode sur Ndolomath et réussir. Ensuite, le PROBATOIRE D 2021 t’aide à cibler les notions importantes et comprendre l’esprit de l’examen via la définition de l’examen. Puis, le PROBATOIRE D 2021 te permet de t’entraîner sur des questions proches du jour J. Enfin, le PROBATOIRE D 2021 te donne un repère clair pour gérer le temps et les points.
L’épreuve de mathématiques du PROBATOIRE D 2021
Partie A : Évaluation des ressources15 points
Exercice 1 :3 points
L’unité des longueurs est le centimètre. ABCD est un rectangle de centre O, de longueur $AB=8$ et de largeur $BC=6$.
Soit $(\Sigma)$ le lieu des points $M$ du plan $(ABC)$ tels que
$MA^2+MB^2+MC^2+MD^2=\left\lVert -24MA^2+12MB^2+12MD^2\right\rVert$
1) a) Construire un tel rectangle ABCD et placer le point O. 0,5 pt
b) Démontrer que $-24MA^2+12MB^2+12MD^2=12AC^2$ 0,5 pt
c) Démontrer que $MA^2+MB^2+MC^2+MD^2=4OM^2+AC^2$ 1 pt
2) Déterminer alors la nature et les éléments caractéristiques de $(\Sigma)$ 1 pt
Exercice 2 :5 points
Le plan est rapporté au repère orthonormé $(O,i,j)$.
On considère la fonction numérique $f$ à variable réelle définie par l’expression $f(x)=-\dfrac{x}{2}+\dfrac{2}{x}$. $(C_f)$ est la courbe de $f$.
1) & Justifier que l’ensemble $D_f$ de définition $f$ est $]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$ et déterminer les limites de $f$ aux bornes de cet ensemble. 1,25 pt
2) Que peut-on alors dire de la droite d’équation $x=0$ ? 0,25 pt
3) Justifier que la droite d’équation $y=-\dfrac{x}{2}$ est une asymptote à la courbe $(C_f)$ en $-\infty$ et en $+\infty$. 0,5 pt
4) Déterminer $f'(x)$ pour $x\ne 0$, son signe et le tableau de variation de $f$. 1,5 pt
5) Démontrer que l’origine $O$ du repère est un centre de symétrie à $(C_f)$. 0,5 pt
6) Tracer avec soin la courbe $(C_f)$. 1 pt
Exercice 3 :4 points
1) Démontrer que $\cos\dfrac{\pi}{12}\cos\dfrac{5\pi}{12}+\sin\dfrac{\pi}{12}\sin\dfrac{5\pi}{12}=\dfrac{1}{2}$ et $\cos\dfrac{\pi}{12}\cos\dfrac{5\pi}{12}-\sin\dfrac{\pi}{12}\sin\dfrac{5\pi}{12}=0$ 1 pt
2) En déduire que la valeur exacte de $\cos\dfrac{\pi}{12}\cos\dfrac{5\pi}{12}$ est $\dfrac{1}{4}$. 0,5 pt
3) Résoudre alors dans $[0;2\pi[$, l’équation $\cos\dfrac{\pi}{12}\cos x=\dfrac{1}{4}$. 1,5 pt
4) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’inéquation $x-\cos\dfrac{5\pi}{12}>0$. 1 pt
Exercice 4 :3 points
Dans un jardin, une observation des poids d’un certain nombre de lapins a donné le résultat suivant :
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \text{Poids }(kg) & [0;1[ & [1;2[ & [2;3[ & [3;4[\\ \hline \text{Effectifs} & & & & \\ \hline \end{array}$
1) Déterminer le poids moyen de ces lapins. 0.75 pt
2) Construire la courbe cumulative décroissante encore appelé polygone des effectifs cumulés décroissants. 1.5 pt
3) Déterminer la médiane de cette série statistique. 0,75 pt
Partie B : Évaluation des compétences5 points
Un entrepreneur vient d’ouvrir en Afrique Centrale une industrie d’assemblage dominateurs d’une marque d’ordinateurs encore nouvelle sur le marché. Une étude faite par des experts établit que s’il produit mensuellement un nombre $x$ d’ordinateurs, toutes les dépenses (liées aux infrastructures. à l’importation des pièces à assembler, au personnel, à la commercialisation, aux impôts et aux taxes) en millions de FCFA est $1120+0,00007x^2$ et la vente de chaque ordinateur assurée pour un prix unitaire de vente de 0,7 million de FCFA.
Certains appareils des chaînes d’assemblage produisent des transistors MOS. Chacun de ces appareils fonctionne chaque jour sans arrêt pendant 3min 59s et produit dès le démarrage (de façon successive) sa 1ere composante en 3min, la 2e en 3min 2s, la 3e en 3min 4s, la 4e en 3min 6s et ainsi de suite, la production de toute autre composante met 2s de plus que celle de la composante précédente.
Le prix de chaque ordinateur est fixé à 0.7 million de FCFA. L’entreprise ne doit pas tourner à perte et le propriétaire veut connaître la capacité de production journalière de chaque appareil produisant les transistors MOS.
Tâches
1) Comment doit-on choisir le nombre d’ordinateurs à assembler mensuellement pour ne pas fonctionner à perte ? 1,5 pt
2) Quel est le nombre d’ordinateurs que cet industriel doit produire mensuellement pour réaliser un bénéfice maximal ? 1,5 pt
3) Quelle est la capacité de production journalière de chaque appareil produisant des composantes MOS ? 1.5 pt
Présentation : 0,5 pt
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Épreuve de mathématiques — PROBATOIRE D 2021
Conclusion du PROBATOIRE D 2021
D’abord, PROBATOIRE D 2021 te rappelle l’importance de bien lire et gérer les points. Ensuite, entraîne-toi régulièrement et vérifie tes calculs avec calme. Puis, garde confiance, car la progression vient avec la pratique. Enfin, Ndolomath t’accompagne pour avancer sereinement vers PROBATOIRE D 2021.
