D’abord, le PROBATOIRE D 2020 t’aide à repérer les notions clés à réviser. Ensuite, sur Ndolomath, le PROBATOIRE D 2020 est présenté pour t’entraîner sereinement. Puis, la définition de l’examen replace le PROBATOIRE D 2020 dans son contexte. Enfin, ce sujet du PROBATOIRE D 2020 te prépare au rythme et au barème.
L’épreuve de mathématiques du PROBATOIRE D 2020
Partie A : EVALUATION DES RESSOURCES15 points
EXERCICE 13 points
On lance deux fois un dé non truqué à six faces portant chacune (de façon distincte), un des nombres $-\dfrac{17}{3}$ ; $-2$ ; $-1$ ; $0$ ; $1$ ; $2$.
$a$ représente le résultat du premier lancé et par $b$ celui du deuxième lancé.
L’on forme alors la fonction numérique $f$ à variable réelle, définie par $f(x)=\dfrac{ax^2+bx+4}{2x-3}$.
1. Combien de telles fonctions peut-on former au total ? 1 pt
2. Combien de telles fonctions sont-elles des fonctions homographiques ? 1 pt
3. a) Déterminer l’ensemble de définition de $f$. 0,25 pt
b) Déterminer le couple $(a,b)$ pour lequel $f(x)=x-\dfrac{4}{3}$ pour $x\neq\dfrac{3}{2}$. 0,75 pt
EXERCICE 23,5 points
$ABCD$ est un rectangle de centre $O$. $I$ est le milieu de $[AB]$.
Les droites $(AC)$ et $(DI)$ se coupent en $E$ ; les droites $(BD)$ et $(IC)$ se coupent en $F$.
1. Déterminer l’image du triangle $ABC$ par la symétrie orthogonale d’axe $(OI)$. 0,5 pt
2. Montrer que le point $F$ est le centre de gravité du triangle $ABC$. 0,5 pt
3. En déduire que $E$ est le centre de gravité du triangle $BAD$. 0,5 pt
4. Soit $h$ l’homothétie de centre $O$ qui transforme $A$ en $E$.
a. Montrer que les droites $(EF)$ et $(AB)$ sont parallèles. 0,5 pt
b. Déterminer $h(B)$. 0,5 pt
5. Soit $K=\mathrm{bar}\{(A,2);(B,3);(C,1)\}$. Déterminer l’ensemble des points $M$ du plan tels que $2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{NA}-\overrightarrow{NB}$. 1 pt
EXERCICE 34 points
Soit $(p_n)$ la suite définie par : $p_0=5000$ et $p_{n+1}=1{,}1\,p_n+500$ pour tout entier naturel $n$.
1. Soit $(Q_n)$ la suite définie par : $Q_n=p_n+5000$ pour tout entier naturel $n$.
a) Montrer que $(Q_n)$ est une suite géométrique dont le premier terme et la raison doivent être précisés. 1 pt
b) Exprimer $Q_n$ en fonction de $n$, puis en déduire que $p_n=10000\times(1{,}1)^n-5000$. 1 pt
2. Une réserve artificielle de poissons avait été inaugurée le $1^{er}$ janvier 2015 avec $5000$ poissons.
Chaque année, ces poissons augmentent (par reproduction) de $10\%$ dans la réserve, et la branche du fleuve qui l’alimente y apporte $500$ nouveaux poissons.
Combien de poissons comptera cette réserve le $1^{er}$ janvier 2030 ? 2 pts
EXERCICE 44,5 points
On définit sur $]-\infty;\dfrac{3}{2}[\ \cup\ ]\dfrac{3}{2};+\infty[$ la fonction $f$ par : $f(x)=\dfrac{x^2-2x+4}{2x-3}$.
On désigne par $C_f$ sa courbe dans un repère orthonormé $(O,i,j)$. Unité sur les axes : $1$ cm.
1. a) Démontrer que le point $\Omega\left(\dfrac{3}{2};2\right)$ est un centre de symétrie de $C_f$. 0,5 pt
b) Déterminer la limite de $f$ à droite en $\dfrac{3}{2}$ et la limite de $f$ en $+\infty$. 0,5 pt
c) Démontrer que la droite $\Delta : y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}$ est asymptote à la courbe de $f$ en $+\infty$ ; et justifier que la droite $\Delta’ : x=\dfrac{3}{2}$ est asymptote à la courbe de $f$. 0,75 pt
2. a) Déterminer l’expression $f'(x)$ de la fonction dérivée $f’$ de $f$. 0,5 pt
b) Étudier le signe de $f'(x)$ pour $x\in]\dfrac{3}{2};+\infty[$. 0,5 pt
c) Dresser le tableau des variations de $f$ sur $]\dfrac{3}{2};+\infty[$. 0,75 pt
d) Construire la courbe de $f$ sur $]\dfrac{3}{2};+\infty[$ et la compléter pour l’avoir sur $]-\infty;\dfrac{3}{2}[$. 1 pt
Partie B : EVALUATION DES COMPETENCES5 points
Situation
Un parc privé d’aire $750\,m^2$ a la forme d’un triangle rectangle dont le plus grand côté mesure $65\,m$.
Dans ce parc, cohabitent exclusivement des rhinocéros, des taureaux et des oies tous normaux.
On y compte $300$ pattes, $100$ têtes et $65$ cornes.
Pour sécuriser ce parc, le propriétaire a pour projet de l’entourer avec $3$ rangés de fil barbelé qui se vend à $1250$ FCFA le mètre sur le marché.
Le vétérinaire veut administrer à chaque oie une dose de vaccin contre la grippe aviaire ; cette dose est celle qui correspond à l’âge médian des oies du parc.
La direction de ce parc a reparti par tranche d’âges, les oies dans le tableau ci-dessous.
$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Âges en année} & [0;1[ & [1;2[ & [2;3[ & [3;4[ & [4;5[ \\ \hline \text{Effectifs} & 12 & 11 & 4 & 13 & 10 \\ \hline \end{array} $
Tâches
1. Déterminer combien il lui faut pour acheter la quantité utile de fil barbelé. 1,5 pt
2. Déterminer le nombre d’animaux de chaque espèce dans ce parc. 1,5 pt
3. Déterminer l’âge qui correspond à la dose de vaccin que recevra chaque oie. 1,5 pt
Présentation : 0,5 pt
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Épreuve de mathématiques — PROBATOIRE D 2020
Conclusion du PROBATOIRE D 2020
D’abord, prends le temps de lire chaque consigne et de repérer les données utiles. Ensuite, le PROBATOIRE D 2020 te rappelle l’importance des méthodes propres et des calculs vérifiés. Puis, sur Ndolomath, entraîne-toi régulièrement et compare tes démarches, pas seulement les résultats. Enfin, reviens au PROBATOIRE D 2020 pour refaire les points difficiles avant l’examen.
