D’abord, le Probatoire D 2016 t’aide à repérer les notions clés et le niveau attendu. Ensuite, le Probatoire D 2016 est présenté sur Ndolomath pour réviser calmement. Puis, le Probatoire D 2016 correspond au probatoire; voici la définition de l’examen. Enfin, le Probatoire D 2016 te guide exercice par exercice, sans stress, avant le jour J.
L’épreuve de mathématiques du PROBATOIRE D 2016
EXERCICE 1:5 points
Dans une classe de première D comptant $90$ élèves dont $60$ garçons, une enquête est menée sur la distance hebdomadaire en km parcourue par chaque élève pour se rendre au Lycée. Le résultat est consigné dans le tableau complet ci-dessous :
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Distance} & [0;3[ & [3;5[ & [5;7[ & [7;11[ \\ \hline \text{Effectifs} & 25 & 23 & 32 & 10 \\ \hline \end{array}$
1- Déterminer l’arrondi d’ordre $2$ de la moyenne des distances hebdomadaires parcourues par ces élèves. 0,75 pt
2- Déterminer la classe modale de cette série statistique. 0,5 pt
3- Dresser le tableau des effectifs cumulés croissants. 1 pt
4- Déterminer par interpolation linéaire, la médiane de cette série statistique 0,75 pt
5 – Déterminer le nombre d’élèves qui parcourent moins de $5$ km par semaine 0,5 pt
6 – En vue de mieux préparer les élèves au probatoire série D, le professeur titulaire de cette classe voudrait constituer des groupes d’étude de cinq élèves.
Pour chacune des deux questions suivantes, quatre réponses sont proposées parmi lesquelles une seule est juste. Écrire le numéro de la question suivi de la lettre correspondant à la réponse juste sur votre feuille de composition. Aucune justification n’est demandée.
i) Le nombre de groupes possibles qu’il peut former est : 0,5 pt
a) $^{5}_{90}$ ; b) $^{5}A_{90}$ ; c) $^{5}C_{90}$ ; d) $5!$ .
ii) Le nombre de groupes qu’il peut former contenant au moins deux filles et au moins deux garçons est: 1 pt
a) $^{2}_{60}C \times {}^{3}_{30}C$ ; b) $^{3}_{60}C \times {}^{2}_{30}C$ ; c) $^{2}_{60}A \times {}^{3}_{30}A$ ; d) $^{3}_{60}C \times {}^{2}_{30}C + {}^{2}_{60}C \times {}^{3}_{30}C$ .
EXERCICE 2:4 points
$ABCD$ est un carré de sens direct de centre $O$ et de côté $3$ cm. On note $r$ la rotation de centre $O$ et d’angle de mesure $-\dfrac{\pi}{2}$ .
1- Déterminer les images des points $A$, $B$, $C$, $D$ et $O$ par la rotation $r$ 1,25 pt
2- Construis le point $E$ tel que $AEB$ soit un triangle équilatéral de sens direct. 0,25 pt
3- On note $G$ le barycentre des points pondérés $(A,2)$ ; $(B,1)$ et $(E,1)$ et $I$ le milieu du segment $[BE]$ .
a) Montrer que le point $G$ est le milieu du segment $[AI]$ . 0,5 pt
b) Montrer que $AI^2=\dfrac{27}{4}$ . 0,5 pt
c) $(r)$ est l’ensemble des points $M$ du plan tel que $AM^2+IM^2=\dfrac{27}{4}$ .
i) Montrer que pour tout point $M$ du plan on a: $\dfrac{AI^2}{2}=AM^2+IM^2-2GM^2$ . 0,75 pt
ii) Déterminer et construire l’ensemble $(\tau)$. 0,75 pt
PROBLEME :11 points
Le problème comporte deux parties $A$ et $B$ .
A)
La courbe $(\tau)$, ci-contre est la représentation graphique d’une fonction numérique $f$ dans un repère orthonormé $(O,i,j)$ .
B)
I) Par lecture graphique :
1- Déterminer l’ensemble de définition $D_f$ de $f$ ainsi que les limites en $-\infty$ ; $+\infty$ ; $1^-$ et en $1^+$ . 1,5 pt
2- Préciser le sens de variation de $f$ . 1 pt
3- Résoudre dans $R$, les inéquations:
i) $f(x)<0$ ; ii) $f(x)>0$ . 1 pt
4- Déterminer $f(-1)$ ; $f(0)$ ; $f'(-1)$ où $f’$ est la fonction dérivée de $f$ . 0,75 pt
5 – Dresser le tableau de variation de $f$ . 0,75 pt
II)
On suppose que pour tout réel $x\ne 1$, $f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x-1}$ où $a$, $b$ et $c$ sont $3$ réels.
1- En utilisant la question I-4), montrer que les réels $a$, $b$ et $c$ vérifient le système:
$\begin{array}{l} 2a-2b+c=2 \\ b-c=-2 \\ 4a-c=0 \end{array}$
2- Choisir la lettre correspondant à la bonne réponse: 0,75 pt
Le triplet $(a,b,c)$ est égal à :
e) $(-2,1,8)$ ; f) $(-2,-4,-2)$ ; g) $(1,2,4)$ ; h) $(0,-1,0)$ .
B) I-
On considère la suite $(W_n)$ définie par, $W_{n+1}=b\,c^n+bn+a$. Pour tout $n\in N$, on pose $U_n=b\,c^n$ et $V_n=bn+a$ où $a$, $b$ et $c$ sont les réels de la partie A-II)
1- Montrer que $(U_n)$ est une suite géométrique et $(V_n)$ une suite arithmétique 1 pt
2- Montrer que pour tout entier naturel $n$, $W_{n+1}=2^{2n+1}+2n+1$ . 0,5 pt
3- On pose $S_n=U_0+U_1+……+U_n$ ; $S’_n=V_0+V_1+……+V_n$ et $T_n=W_0+W_1+…….+W_n$ .
a) Exprimer $S_n$ puis $S’_n$, fonction de $n$ . 1 pt
b) En déduire $T_n$ en fonction de $n$ . 0,5 pt
II-
1) Vérifier que $a$ est une solution de l’équation: $2x^2-(2-\sqrt{2})x-\sqrt{2}=0$ . 0,25 pt
2) En utilisant la somme des solutions de cette équation, montrer que l’autre solution est $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et en déduire dans l’intervalle $]-\pi;\pi]$, l’ensemble solutions de l’équation : $2\sin^2x-(2-\sqrt{2})\sin x-\sqrt{2}=0$ . 1,25 pt
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Épreuve de mathématiques — PROBATOIRE D 2016
Conclusion du PROBATOIRE D 2016
D’abord, sur Ndolomath, tu peux reprendre les questions et t’entraîner régulièrement. Ensuite, ce sujet te montre comment gérer le temps et les points à l’examen. Puis, le Probatoire D 2016 devient plus abordable quand tu relis les consignes et les méthodes. Enfin, garde confiance: le Probatoire D 2016 se réussit avec de la pratique et une bonne stratégie.
