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L’épreuve de mathématiques du PROBATOIRE D 2011
Exercice 1 :4.5 points
Un commerçant a besoin d’une somme d’argent de 2000 000 FCFA pour monter une affaire. Deux possibilités d’emprunt s’offrent à lui.
Possibilité 1 : un groupe de tontine lui donne la somme pour deux ans avec un taux d’intérêt mensuel composé de $2\%$.
Possibilité 2 : une banque lui prête cette somme pour deux ans aux conditions suivantes : – à la fin du premier mois, il doit rembourser 240000F, – puis chaque mois, il rembourse avec 10000 F de moins que le mois précédent.
1. Pour chacune de ces possibilités, calculer la somme totale à rembourser. 4 pts
2. En déduire l’emprunt le plus avantageux. 0,5 pt
Exercice 2 :4.5 points
Après un contrôle les notes de mathématiques de 60 élèves d’une classe de $1^{\mathrm{ere}}$ D ont été regroupées dans le tableau suivant :
$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Notes} & [0;4[ & [4;8[ & [8;12[ & [12;16[ & [16;20[ \\ \hline \text{Nombre d’élèves} & & 12 & & & \\ \hline \text{Fréquences} & & 0,3 & & & \\ \hline \text{Effectifs\ cumulés\ croissants} & & 30 & & & \\ \hline \end{array} $
1. Recopier et compléter ce tableau. 2 pts
2. Calculer le pourcentage des élèves ayant une note supérieure ou égale à $12/20$. 0,5 pt
3. L’épreuve de mathématiques du contrôle est constituée de 3 exercices et d’un problème.
L’enseignant dispose dans sa banque d’épreuve de 18 exercices (dont 4 en statistiques, 9 en équations, 5 en trigonométrie) et 10 problèmes différents.
(a) Combien d’épreuves différentes peut-il composer? 1 pt
(b) Donner le nombre d’épreuves contenant exactement un exercice de statistique et un exercice de trigonométrie. 1 pt
PROBLEME:11 points
Partie A:6 points
On considère une fonction $f$ définie sur $[-1;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{2x-1}{x+2}$; on note $(C)$ la courbe représentative de $f$ dans un plan muni d’un repère orthonormé d’unité 2 cm.
1. Vérifier que sur l’intervalle $[-1;+\infty[$, $f(x)=2-\dfrac{5}{x+2}$. 0,5 pt
2. Calculer la limite de $f$ en $+\infty$ et en déduire l’existence d’une asymptote $D$ à $(C)$. 0,5 pt
3. a) Calculer $f'(x)$ où $f’$ est la fonction dérivée de $f$. 0.5 pt
(b) Dresser le tableau de variations de $f$. 1 pt
4. Déterminer une équation de la tangente $(T)$ à $(C)$ au point d’abscisse $3$. 0,5 pt
5. Tracer les droites $(T)$ et $(D)$ puis la courbe $(C)$. 2 pts
6. On pose $g(x)=f(x)-1$; $(C’)$ la courbe représentative de $g$. Indiquer la transformation qui permet d’obtenir $(C’)$ à partir de $(C)$, puis tracer $(C_f)$. 1 pt
Partie B :5 points
On considère les points $P(-1,-3)$ et $Q(3,1)$.
1. (a) Montrer que $P$ et $Q$ appartiennent à la courbe $(C)$. 0,5 pt
(b) Déterminer l’ensemble des points $M$ du plan tels que $MP^2+MQ^2=32$. 1,5 pt
2. On considère l’expression $p(x)$ suivante : $p(x)=-\cos 4x+5\cos^2 2x$ dans laquelle $x$ est un nombre réel appartenant à l’intervalle $]-\pi;\pi]$.
(a) Montrer que $p(x)=2\cos^2 2x-5\cos 2x-1$. 0,5 pt
(b) Résoudre alors l’équation $p(x)=-1$. 1,5 pt
(c) Placer les solutions sur le cercle trigonométrique. 1 pt
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Épreuve de mathématiques — PROBATOIRE D 2011
Conclusion du PROBATOIRE D 2011
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