D’abord, l’épreuve PROBATOIRE D 2005 t’aide à te situer avant l’examen sur Ndolomath.
Ensuite, le sujet PROBATOIRE D 2005 te fait réviser les automatismes essentiels sans te disperser.
Puis, les exercices PROBATOIRE D 2005 te montrent le niveau attendu, étape par étape, en conditions réelles.
Enfin, PROBATOIRE D 2005 reste mieux compris grâce à la définition de l’examen.
L’épreuve de mathématiques du PROBATOIRE D 2005
Exercice 1:4 points
1. Montrer que $ (\sqrt{2}+\sqrt{3})^2=5+2\sqrt{6} $. 0,25 pt
2. On considère l’équation $(E)$ : $4\sin^2 x+2(\sqrt{2}-\sqrt{3})\sin x-\sqrt{6}=0$. Résoudre dans $[0;2\pi]$ l’équation $(E)$. 1,75 pt
3. a) Placer les points du cercle trigonométrique, image des solutions de l’équation $(E)$. Unité : $3cm$. 1 pt
b) Quelle est la nature du polygone obtenu ? 0,5 pt
c) Calculer la valeur exacte de l’aire de ce polygone. 0,5 pt
Exercice 2:5 points
Les courbes demandées seront tracées sur un papier millimétré.
On effectue des essais sur un échantillon de 220 lampes électriques afin de tester leur durée de vie. Cette durée est exprimée en heures. Les résultats sont regroupés par classes d’amplitude égale à 100 heures dans le tableau suivant :
$ \left\{\begin{array}{l} \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Durées en milliers} & [1,1;1,2[ & [1,2;1,3[ & [1,3;1,4[ & [1,4;1,5[ & [1,5;1,6[ & [1,6;1,7[ & [1,7;1,8[ & [1,8;1,9[ \\ \hline \text{Effectifs} & 6 & 14 & 25 & 75 & 80 & 10 & 8 & 2 \\ \hline \text{Fréquence cumulées croissant} & & & & & & & & \\ \hline \end{array} \end{array}\right. $
On suppose que la répartition est uniforme à l’intérieur de chaque classe.
1. a) Tracer l’histogramme de cette série. 0,75 pt
b) Recopier et compléter le tableau ci-dessus. 0,75 pt
c) Calculer la valeur approchée de la médiane à $10^{-1}$ près par défaut. 0,75 pt
2. a) Tracer le polygone des fréquences cumulées croissantes de cette série. 0,75 pt
b) Calculer les troncatures d’ordre 1 de la moyenne $x$ et de l’écart type $\sigma$ de la série. 1 pt
3. Quel est le pourcentage de lampes dont la durée de vie est dans $[x-\sigma; x+\sigma]$. 0,25 pt
4. Un autre lot de lampes électriques de même puissance provenant d’un autre fabricant est également testé. La moyenne de durée de vie est de $140h$ et l’écart type de $140h$. Quel est celui des deux lots qui vous semble être meilleur ? 0,5 pt
Problème :11 points
Partie A2,5 points
Dans le plan orienté, en considère le rectangle direct $ABCD$ tel que $AB=a$ et $AD=b$.
$O$ est le centre du rectangle $ABCD$.
1. Montrer que pour tout point $M$ du plan on a : $MA^2+MB^2+MC^2+MD^2=4OM^2+h$, où $h$ est un réel que l’on déterminera en fonction de $a$ et $b$. 1 pt
2. Soit $(\Gamma)$ l’ensemble des points $M$ du plan tel que : $MA^2+MB^2+MC^2+MD^2=k$, $k$ est un réel. Déterminer suivant les valeurs du réel $k$ la nature de $(\Gamma)$. 1 pt
3. a) Pour quelle valeur de $k$ $(\Gamma)$ est le cercle circonscrit au rectangle $ABCD$ ?
b) Tracer $(\Gamma)$ pour $a=3$, $b=4$ et $k=50$. 0,5 pt
Partie B8,5 points
Soit $f$ la fonction définie sur par : $f(x)=1-\dfrac{2}{x-1}$.
Soit $C_f$ la courbe représentative de $f$ et $(H)$ la courbe d’équation $y=-\dfrac{2}{x}$ dans le plan rapporté à un repère orthonormé $(O,i,j)$.
1. a) Déterminer par ses coordonnées le vecteur de translation qui transforme $(H)$ en $C_f$. 0,5 pt
b) Construire $(H)$ et $C_f$ dans le même repère. 1,5 pt
2. Sans avoir à étudier les variations de $f$, dresser le tableau de variation de la fonction $f$. 1 pt
3. Déterminer graphiquement :
a) l’abscisse du point $I$, intersection de $C_f$ et de l’axe des abscisses. 0,5 pt
b) les solutions de l’équation $f(x)=-\dfrac{2}{x}$. 0,5 pt
4. a) Vérifier que pour tout réel $x$ de , on a : $f(x)=\dfrac{x-3}{x-1}$.
b) Retrouver algébriquement l’abscisse de $I$. 0,5 pt
5. a) Déduire des résultats précédents, l’ensemble des solutions de l’inéquation $f(x)\ge 0$. 1 pt
b) Tracer la courbe de la fonction $h$ définie par : $h(x)=|f(x)|$ dans le même repère orthonormé. 1,5 pt
6. Soit un réel $k$, déterminer en fonction de $k$ le nombre et le signe des solutions de l’équation $h(x)=k$. 1,5 pt
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Épreuve de mathématiques — PROBATOIRE D 2005
Conclusion du PROBATOIRE D 2005
D’abord, reprends les méthodes clés vues dans PROBATOIRE D 2005 pour gagner en confiance.
Ensuite, entraîne-toi régulièrement sur Ndolomath en chronométrant chaque exercice.
Puis, vérifie tes résultats et corrige tes erreurs avec calme et méthode.
Enfin, le jour J, respire et applique ce que tu as appris sur PROBATOIRE D 2005.
