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L’épreuve de mathématiques du PROBATOIRE D 2004
Exercice 1 :4 points
Voici les tailles des élèves d’une classe de première d’un établissement scolaire :
$\left[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Taille en cm} & [130;135[ & [135;145[ & [145;150[ & [150;155[ & [155;165[ & [165;170[ & [170;175[ \\ \hline \text{Effectifs} & 1 & 4 & 7 & 10 & 8 & 8 & 2 \\ \hline \text{Effectifs cumulés croissant} & & & & & & & \\ \hline \end{array}\right]$
On donnera les arrondis d’ordre zéro de tous les résultats.
1. a) Déterminer le nombre total des élèves de cette classe. 0,25pt
b) Recopier et compléter sur votre feuille de composition le tableau ci-dessus 0,75 pt
c) Calculer la moyenne $\bar{x}$; l’écart type $\sigma$; $\bar{x}-\sigma$ et $\bar{x}+\sigma$. 1,5 pt
d) Construire le polygone des effectifs cumulés croissants sur un papier millimétré 0,5 pt
2. a) Lire graphiquement les effectifs cumulés respectifs dont la taille est inférieure respectivement à $\bar{x}-\sigma$ et $\bar{x}+\sigma$. 0,5 pt
b) En déduire l’effectif cumulé dont la taille est dans l’intervalle $[\bar{x}-\sigma;\bar{x}+\sigma]$. 0,25 pt
c) Quel pourcentage de l’effectif total représente ce dernier effectif. 0,25 pt
Exercice 2:5 points
Un marchand de jouets désirant attirer chez lui des enfants potentiels distribuait chaque jour le même nombre de bonbons gratuitement aux enfants qui se présentaient chez lui à la sortie de l’école. Le lundi $n$ enfants se sont partagés à égalité les bonbons. Le mardi quatre enfants des $n$ enfants ne vinrent pas ; alors chacun des autres eut $6$ bonbons de plus. Le mercredi, certains des $n$ enfants ont ramené des copains; il y avait $12$ enfants de plus, de sorte que chacun d’eux eut $6$ bonbons de moins.
1. En désignant : $X$ le nombre de bonbons que distribuait le marchand; $k$ le nombre de bonbons reçus le lundi par chacun des $n$ enfants.
Montrer que $n$ et $k$ vérifient le système : $\begin{cases}6n-4k=24\\12k-6n=72\end{cases}$.
2. Déterminer:
a) le nombre de bonbons que chaque enfant avait reçus le lundi. 1 pt
b) le nombre d’enfants qui se sont présentés le lundi chez le marchand. 1 pt
c) le nombre de bonbons que le marchand distribuait chaque jour. 1 pt
Problème :11 points
Partie A5,5 points
Soit $(U_n)$ la suite numérique définie par : $U_0=4$ et $U_{n+1}=\dfrac{1}{3}U_n+\dfrac{2}{3}$.
On considère le plan rapporté à un repère orthonormé
1. Représenter les cinq premiers termes de cette suite sur l’axe des abscisses. 1 pt
2. Faire une conjecture, sur le sens de variation et la convergence de la suite $(U_n)$. 1 pt
3. Soit la suite $(V_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $V_n=U_n-1$.
a) Montrer que la suite $(V_n)$ est géométrique dont on donnera la raison $q$ et le premier terme $V_0$. 1 pt
b) Exprimer $V_n$, puis $U_n$ en fonction de $n$. 1 pt
3. On pose : $S_n=V_0+V_1+V_2+……+V_n$ et $S’_n=U_0+U_1+……+U_n$. Déterminer $S_n$ et $S’_n$ en fonction de $n$. 1,5 pt
Partie B5,5 points
Soit les trois fonctions numériques $f$, $g$ et $h$ définies sur $\mathbb{R}$ par: $f(x)=x^2-1$; $g(x)=x^2+x+1$ et $h(x)=2x+1$.
1. Tracer dans le plan rapporté à un repère orthonormé les courbes $C_f$; $C_g$ et $C_h$, respectives des fonctions $f$, $g$ et $h$. 1,5 pt
2. a) Résoudre graphiquement le système : $\begin{cases}f(x)>0\\g(x)>0\\h(x)>0\end{cases}$. 0,5 pt
b) Pour tout $x$ solution de ce système, montrer que l’on peut toujours construire un triangle $ABC$ dont les longueurs des cotés sont: $BC=f(x)$; $AC=g(x)$ et $AB=h(x)$. 1 pt
c) Déterminer $x$ tel que $ABC$ soit isocèle de sommet principal $B$. 1 pt
3. Soit $t$ la fonction numérique définie par: $t(x)=-f(|x|)$. A l’aide de la courbe $C_f$ :
a) Donner le programme de construction de la courbe $C_t$ de la fonction $t$. 1 pt
b) Tracer la courbe $C_t$ dans le même repère que $C_f$. 0,5 pt
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Épreuve de mathématiques — PROBATOIRE D 2004
Conclusion du PROBATOIRE D 2004
D’abord, prenez PROBATOIRE D 2004 comme un entraînement complet, pas comme un piège. Ensuite, avancez question par question, en respectant les points et les consignes. Puis, relisez vos calculs et vos signes, car la rigueur fait gagner des points. Enfin, Ndolomath vous accompagne pour réviser sereinement et viser une meilleure note.
