D’abord, pour PROBATOIRE D 2003, révisez avec Ndolomath et repérez les thèmes clés du sujet. Ensuite, pour PROBATOIRE D 2003, consultez la définition de l’examen et fixez une méthode régulière. Puis, pour PROBATOIRE D 2003, entraînez-vous à gérer le temps sur chaque exercice. Enfin, pour PROBATOIRE D 2003, avancez pas à pas et restez serein face aux questions.
L’épreuve de mathématiques du PROBATOIRE D 2003
Épreuve de mathématiques — PROBATOIRE D 2003 (pages en image)
Exercice 1 : 4,5 points4,5 points
1. a) Calculer $227^2$. 0,5 pt
b) Résoudre l’équation $(E):\;2x^2+203x-1290=0$. 1 pt
Bela a placé une somme de 120000 F dans une banque au taux d’intérêt $x\%$ pendant un an. La banque ayant connu des problèmes, Bela a retiré son capital ainsi que ses intérêts annuels et a placé toute la somme ainsi obtenue dans une autre banque au taux de $y\%$ pendant un an. Elle a alors obtenu un intérêt de 9540 F dans cette dernière banque.
2. Sachant que $y-x=1,5$, démontrer que $x$ vérifie l’équation $(E)$ de 1. b). 2 pts
3. Calculer le taux d’intérêt dans la première banque. 1 pt
Exercice 2 : 4,5 points4,5 points
Soient $u$ et $v$ deux vecteurs non colinéaires du plan.
1. Développer $(u+v)^2$ et $(u-v)^2$, puis calculer $(u+v)^2+(u-v)^2$ et $(u+v)^2-(u-v)^2$. 1,5 pt
2. Soient $O$, $A$, $B$ et $C$ les points du plan tels que: $OA=u$, $OB=v$, et $OC=u+v$.
a) Faire une figure et démontrer que le quadrilatère $OACB$ est un parallélogramme. 1 pt
b) Exprimer à l’aide des points de la figure, le vecteur $(u-v)$. 0,5 pt
c) En déduire que $OA^2+OB^2=OC^2+AB^2$, et énoncer une propriété des diagonales d’un parallélogramme. 1 pt
3. Écrire $(u+v)^2-(u-v)^2$ en fonction des longueurs des diagonales du parallélogramme $OACB$. 0,5 pt
Problème11 points
Les parties A et B du problème sont indépendantes.
Partie A3,5 points
1. Montrer que tout $x,y$ réels différents de $\dfrac{k\pi}{2}+\pi$, avec $k$ nombre entier on a $\tan(x+y)=\dfrac{\tan x+\tan y}{1-\tan x\,\tan y}$. En déduire l’expression de $\tan 2x$ en fonction de $\tan x$ pour $x$ différent de $\dfrac{k\pi}{2}+\pi$. 1,5 pt
2. On donne $\tan x=\sqrt{2}-1$. Calculer $\tan 2x$ et trouver $x$, sachant que $x$ appartient à $]0;\dfrac{\pi}{2}]$. 2 pts
Partie B7,5 points
La fonction $f$ de la variable réelle $x$ est définie pour tout nombre réel $x$ différent de 3 par : $f(x)=\dfrac{x^2+1}{x-3}$.
$(C_f)$ désigne la courbe de $f$ dans un repère orthonormé du plan ; l’unité de longueur sur les axes est égale à 1 cm.
1. a) Etudier les variations de $f$ sur $\mathbb{R}\setminus\{3\}$. 1,5 pt
b) Construire le tableau de variation de $f$. 1 pt
2. a) Démontrer que $(C_f)$ admet au point d’abscisse 2 une tangente $(d)$ non parallèle à l’axe des abscisses. 1 pt
b) Ecrire une équation cartésienne de $(D)$. 1 pt
c) Etudier la position relative de $(C_f)$ et de $(D)$. 0,5 pt
3. a) Démontrer que le point $\Omega(3;2)$ est centre de symétrie pour $(C_f)$. 1 pt
b) Tracer $(C_f)$ et $(D)$. 1,5 pt
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Épreuve de mathématiques — PROBATOIRE D 2003
Conclusion du PROBATOIRE D 2003
D’abord, identifiez les questions faciles et sécurisez vos points sans stress. Ensuite, gérez le temps avec rigueur et relisez chaque ligne. Puis, utilisez Ndolomath pour structurer vos révisions et gagner en confiance. Enfin, PROBATOIRE D 2003 se réussit avec régularité, méthode et calme.
