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L’épreuve de mathématiques du PROBATOIRE D 2001
Exercice 104 points
Sur la figure ci-contre, ABCD est un rectangle, BCC’B’ et DCC’’D’ sont des carrés.
Figure : (présente sur le sujet)
On suppose que :
L’aire totale des parties hachurées vaut 169 centimètres ;
L’aire de la partie non hachurée est égale à 60 centimètres carrés.
On pose $AB=x$ ; $BC=y$ $(x>y)$ ;
1. Démontrer que $x^4-169x^2+3600=0$ 2,5 pts
2. En déduire les dimensions $x$ et $y$ du rectangle.
Exercice 205 points
Le tableau suivant donne la répartition des candidats à un concours de mathématique selon leurs notes
$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{note} & [0;3[ & [3;6[ & [6;10[ & [10;12[ & [12;14[ & [14;16[ & [16;18[ & [18;20[ \\ \hline \text{Effectifs} & & & & & & & & \\ \hline \text{Fréquence} & & & & & & & & \\ \hline \text{Effectif cumulé croissant} & & & & & & & & \\ \hline \text{Effectif cumulé décroissant} & & & & & & & & \\ \hline \end{array} $
1. Recopier et compléter ce tableau par:
a. la ligne des fréquences ; 0,75 pt
b. la ligne des effectifs cumulés croissants; 0,75 pt
c. la ligne des effectifs cumulés décroissants; 0,75 pt
2. . Répondre par vrai ou faux :
a. $50\%$ des candidats ont eu une note supérieure ou égale à 10 . 0,25 pt
b. 120 candidats ont eu une note supérieure ou égale à 3 . 0,25 pt
c. $50\%$ des candidats ont eu une note inférieure à 6 . 0,25 pt
3. a. Construire dans un même repère du plan les polygones des effectifs cumulés croissants et décroissants. (On prendra 1 cm pour 2 unités en abscisses, 1 cm pour 15 unités en ordonnées) 1 pt
b. Déterminer la classe modale de cette série statistique. 0,5 pt
c. Déterminer graphiquement la médiane de cette série statistique.
Problème11 points
I.
Soient A, B et I trois points du plan tels que AB=5 cm et I le milieu de [AB].
1. Construire le barycentre G des points pondérés (A ; 2), (B ; -1) 0,75 pt
2. Déterminer et construire l’ensemble des points M du plan tels que.
a. $MA^2+MB^2=\dfrac{125}{2}$ 1 pt
b. $MA\cdot MB=\dfrac{11}{4}$ 1 pt
II.
1. Résoudre dans l’intervalle $[0,2\pi[$ I ‘équation $2\sin^2 x-(2+\sqrt{2})\sin x+\sqrt{2}=0$ 2 pts
(On pourra remarquer que $(2-\sqrt{2})^2=6-4\sqrt{2}$)
2. Représenter les images des solutions sur un cercle trigonométrique 1,25 pt
III.
La fonction $f$ de la variable réelle $x$ est définie sur par: $f(x)=\dfrac{3}{x^2+1}$
(C) désigne la courbe représentative de $f$ dans le plan rapporté à un repère orthonormé.
1. Calculer les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$ 0,5 pt
2. Calculer la dérivée de $f$ 0,5 pt
3. Donner le tableau de variation de $f$ 1 pt
4. a. Écrire les équations des tangentes à $(c)$ aux points A et B d’abscisse 1 et -1 respectivement. 1 pt
b. Tracer $(c)$ ainsi que les tangente aux points A et B 1 pt
5. Voici quatre affirmations concernant la fonction $f$ :
i) $f$ est une fonction paire;
ii) $f$ est une fonction positive sur
iii) pour tout nombre réel $x$, $0\le f(x)\le 3$
iv) $f$ est une fonction impaire.
Recopier sur votre feuille le tableau ci-dessous et le compléter en mettant une croix dans la case correspondant à votre choix selon que l’affirmation est vraie ou fausse. 1 pt
$ \begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Affirmation} & \text{Vraie} & \text{Fausse} \\ \hline \text{i} & & \\ \hline \text{ii} & & \\ \hline \text{iii} & & \\ \hline \text{iv} & & \\ \hline \end{array} $
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