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L’épreuve de mathématiques du PROBATOIRE D 2000
Exercice 15 points
I. On considère les suites
On considère les suites $(U_n)$ et $(V_n)$ respectivement définies par :
$U_0 = 1000000$
$U_{n+1} = 1,08\,U_n – 40000$ et $V_n = U_n – 500000$.
1. Calculer $U_1$, $U_2$ et $U_3$. 1,5 pts
2. a) Déterminer le nombre réel $a$ tel que pour tout naturel $n$, on ait $V_{n+1} = aV_n$. 0,5 pt
b) En déduire que $(V_n)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme $V_0$ et la raison $q$. 1 pt
c) Calculer $V_n$ en fonction de $n$ et en déduire l’expression de $U_n$ en fonction de $n$. 1 pt
II.
Le $1^{er}$ décembre 1995, Monsieur $X$ avait placé $1000000$ F dans une banque à un taux de $8\%$ par an, à intérêts composés.
Parallèlement, Monsieur $X$ retire une somme de $40000$ le $1^{er}$ décembre de chaque année pour préparer ses fêtes.
Quelle somme aura Monsieur $X$ dans sa banque le $1^{er}$ décembre 2001 ? 1 pt
Exercice 24 points
1. Déterminer le nombre réel $a$, $0<a<\frac{\pi}{2}$ tel que : $\frac{1}{2}-\frac{3}{2}\cos x\sin x=\cos(x+a)$. 1 pt
2. Résoudre dans $[0;2\pi[$ l’équation : $\cos x – 3\sin x = 1$. 2 pts
3. Représenter les images des solutions sur un cercle trigonométrique. 1 pt
Problème11 points
Partie A3 pts
Déterminer les nombres réels $a$, $b$ et $c$, sachant que la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $g(x)=ax^3+bx+c$, est impaire et que le point $A(1;2)$ est un extremum relatif pour sa courbe représentative. 3 pts
Partie B
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=x^3-3x$.
On désigne par $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$.
1. Étudier la parité de la fonction $f$. Que peut-on en déduire pour la courbe $(C)$ ? 1 pt
2. Étudier les variations de $f$ et dresser son tableau de variation. 2 pts
3. Soit $(T)$ la tangente à $(C)$ en $O$
a) Donner une équation de $(T)$. 0,5 pt
b) Étudier la position de $(C)$ par rapport à $(T)$. 1 pt
4. a) Étudier la parité de la fonction $f’$, dérivée de $f$. 0,75 pt
b) Soit $\alpha$ un réel non nul. Montrer que les tangentes à $(C)$ aux points d’abscisses respectives $\alpha$ et $-\alpha$, sont parallèles. 0,75 pt
5. Tracer la courbe $(C)$ et la tangente $(T)$. 1 pt
6. Utiliser la courbe $(C)$ pour résoudre dans $\mathbb{R}$ l’inéquation : $0\le -x^3+3x\le 2$. 1 pt
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Épreuve de mathématiques — PROBATOIRE D 2000
Conclusion du PROBATOIRE D 2000
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