Examen de maths 4e séquence Première D

Exercice 1 03 points

1. Déterminer trois entiers naturels $a$, $b$, $c$ tel que :

   $$ \begin{cases} a - 2c = 0 \\ a + b + c = 46 \\ 2a + b + 5c = 120 \end{cases} $$

   1,5 pt
2. Mme Ambroise a prévu $6000\text{F}$ pour la fabrication de sa salade de fruits à base de papayes, de pastèques et d’oranges. Au marché elle se rend compte qu’elle ne peut acheter que $46$ fruits. Sachant qu’une papaye coûte $100\text{F}$, une pastèque $250\text{F}$, une orange $50\text{F}$ et qu’elle a acheté deux fois plus d’oranges que de papayes. Déterminer le nombre de papayes, de pastèques et d’oranges achetés par Mme Ambroise. 1,5 pt

Exercice 2 03,5 points

Sur la figure ci-contre, $ABCD$ est un rectangle, $DD'C'C$ et $BB'C'D$ sont des carrés. On pose $AB=x$ et $BC=y$ avec $x>y$.

1. L’aire $A(x)$ de $DD'C'C$ est $A(x)=-x^2+24x$.
   1. Donner la forme canonique de $A(x)$. 0,5 pt
   2. Pour quelle valeur de $x$ l’aire $A(x)$ est-elle maximale ? 0,25 pt
2. L’aire totale des parties hachurées vaut $169\text{cm}^2$ et l’aire de la partie non hachurée vaut $60\text{cm}^2$.
   1. Résoudre l’équation $x^2-169a+3600=0$. 0,75 pt
   2. Justifier que $x$ et $y$ vérifient le système

      $$ \begin{cases} x^2+y^2=169 \\ xy=60 \end{cases} $$

      0,5 pt
   3. En déduire que $x$ vérifie l’équation $(E):\ x^4-169x^2+3600=0$. 0,5 pt
   4. Trouver les dimensions du rectangle $ABCD$. 1 pt

Exercice 3 04,5 points

1. I.
   1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation : $2t^2+\sqrt{3}t-3=0$. 0,5 pt
   2. Montrer que pour tout réel $x$, $\sqrt{3}\cos x+\sin x=2\cos\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)$. 0,75 pt
   3. En utilisant les questions 1) et 2), résoudre dans $[-\pi;\pi]$ l’équation $(2\sin^2x+\sqrt{3}\sin x-3)(\sqrt{3}\cos x+\sin x-\sqrt{2})=0$. 1,5 pt
2. II. Dans un dépôt de vente, le prix affiché sur un meuble diminue de $10\%$ par semaine.
   1. Un buffet a été mis en vente à $850000$ francs. On pose $U_0=850000$ et on désigne par $U_n$ le prix en francs de ce buffet $n$ semaines plus tard.
      1. Montrer que $(U_n)$ est une suite géométrique de raison $0,9$. 0,5 pt
      2. Exprimer $U_n$ en fonction de $n$. 0,5 pt
   2. Le budget de Moussa est de $600000$ francs. Au bout de combien de semaines le buffet sera-t-il à portée de sa bourse (s’il n’a pas été acheté entre temps) ? 0,75 pt

Problème 09 points

On considère la fonction $f$ dont la courbe $(C_f)$ ci-dessous est sa courbe représentative dans le repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$.

1. Déterminer l’ensemble de définition $D_f$ de $f$ et l’écrire sous forme d’une réunion d’intervalles. 0,5 pt
2. Déterminer graphiquement les limites de $f$ aux bornes de $D_f$. 1 pt
3. Déterminer les extrémums de $f$. 0,5 pt
4. Donner le sens de variation de $f$. 0,5 pt
5. Dresser le tableau de variation de $f$. 0,75 pt
6. Déterminer les nombres réels $a$, $b$ et $c$ tels que pour tout $x\in D_f$, on ait :

   $$ f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x+1} $$

   1,5 pt
7. Démontrer que la droite $(D)$ d’équation $y=x-1$ est asymptote à $(C)$. 0,5 pt
8. Étudier la position relative de la courbe $(C)$ et de la droite $(D)$. 0,5 pt
9. Démontrer que le point $I(-1;-2)$ est un centre de symétrie de $(C)$. 0,5 pt
10. Déterminer graphiquement le nombre et le signe des solutions de l’équation :

    $(E):\ x^2-mx-m=0$

    0,75 pt
11. Donner le tableau de variation des fonctions $g$, $h$, $i$, $j$ et $k$ définies par :

    $$ g(x)=-f(x)\ ;\quad h(x)=f(-x)\ ;\quad i(x)=-f(-x)\ ;\quad j(x)=f(x-1)+1 $$

    2 pts