Examen de mathématiques 3e séquence 1ère D

PARTIE 1 : ÉVALUATION DES RESSOURCES 15,5 points

Exercice 1 5 points

1. On considère l’expression : $H(x)=2\cos^2 x-2\sin x\cos x-1$.
   1. Montrer que $H(x)=\cos 2x-\sin 2x$. 0,5 pt
   2. Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que $H(x)=a\cos(2x+b)$. 0,5 pt
   3. Résoudre dans l’intervalle $[0;2\pi]$ l’équation : $H(x)+1=0$. 1 pt
   4. Représenter les images des solutions sur le cercle trigonométrique. 1 pt
   5. Résoudre dans $[0;2\pi]$ l’inéquation : $H(x)<-1$. 0,75 pt
2. Résoudre dans $\mathbb{R}^3$ le système suivant : 1,25 pt

   $\begin{cases} 2x+3y+z=1\\ 3x+2y+z=5\\ 2x+y+3z=11 \end{cases}$

Exercice 2 5,75 points

Soient $f$, $g$ et $h$ trois fonctions définies par : $f(x)=\dfrac{1}{x}$, $g(x)=\dfrac{2x-1}{x-1}$ et $h(x)=\sqrt{x^2-4x+1}$.

1. Déterminer le domaine de définition $D_g$ de la fonction $g$, puis calculer les limites aux bornes de $D_g$. 0,25 pt + 1 pt
2. Déterminer les équations des asymptotes à la courbe $(C_g)$ de $g$. 0,75 pt
3. Étudier la continuité de $g$ en $2$. 0,25 pt
4. 1. Déterminer les réels $\alpha$ et $\beta$ tels que $g(x)=\alpha+\dfrac{\beta}{x-1}$, puis exprimer $g(x)$ en fonction de $f(x)$. 0,5 pt + 0,5 pt
   2. En déduire le programme de construction de la courbe $(C_g)$ de la fonction $g$ à partir de celle de $f$. 0,5 pt
5. Donner l’expression explicite de $(f\circ g)(x)$. 0,5 pt
6. Montrer que le point $A(1;2)$ est centre de symétrie de la courbe $(C_g)$ de $g$. 0,75 pt
7. Déterminer le domaine de définition de $h$. 1,25 pt

Exercice 3 4,75 points

I-
$ABC$ est un triangle rectangle et isocèle en $A$. $I$ est le milieu du segment $[BC]$. On donne $AB=4\,\text{cm}$.

1. 1. Déterminer et construire le barycentre $D$ des points $(A,-1)$ ; $(B,1)$ et $(C,1)$. 1 pt
   2. Démontrer que le quadrilatère $ABDC$ est un carré. 0,75 pt
2. 1. Déterminer l’ensemble $(C)$ des points $M$ du plan tels que $MB^2+MC^2=24$. 1 pt
   2. Tracer $(C)$ sur la figure précédente. 0,5 pt

II-
On donne le segment $[AB]$ tel que $AB=12$.

Déterminer et tracer l’ensemble des points $M$ du plan tels que : $\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{AB}=-12$. 1,5 pt

NB : Dans cet exercice les parties I et II sont indépendantes.

PARTIE 2 : ÉVALUATION DES COMPÉTENCES 4,5 points

Une station d’essence affiche les prix suivants à la pompe par litre : Gasoil : $450$ FCFA ; Pétrole : $350$ FCFA ; Essence : $630$ FCFA.

Pour un montant total de $54\,250$ FCFA, un marchand remplit trois bidons : l’un avec de l’essence, l’autre avec du gasoil et le dernier avec du pétrole. Le bidon de gasoil contient $15$ litres de plus que celui du pétrole. La quantité totale des trois bidons est de $105$ litres.

Ce marchand, de retour chez lui, veut fabriquer un jouet de forme rectangulaire pour son enfant et aimerait que la longueur dépasse la largeur de $3$ m et que cette longueur soit un entier ; il souhaite également que la surface soit plus petite ou égale à $4\,\text{m}^2$.

Les trois pompes de la station sont positionnées aux points $G$, $P$ et $E$ respectivement pour les pompes à gasoil, à pétrole et à essence, et ces trois points sont situés à égale distance l’un de l’autre ; la distance séparant deux points est de $4$ m. Un actionneur de cette station veut mettre sur pied un dépôt de bouteilles à gaz situé en un point $M$.

Plusieurs idées lui passent par la tête : le point $M$ doit être équidistant des points $G$ et $E$ ; $GPEM$ est un quadrilatère convexe ; la distance du point $P$ au point $M$ doit être égale à $9$ m.

1. Déterminer les capacités respectives de chacun des trois bidons. 2 pts
2. Déterminer la longueur du jouet que fabrique le marchand à son enfant. 1 pt
3. Construire le point $M$ du dépôt de bouteilles à gaz. 1,5 pt