Examen blanc Probatoire D en 1e D

Exercice 1 (04 points)

1. Résoudre dans $\mathbb{R}^3$ le système suivant $(S)$ :
   $\begin{cases} x+y-2z=10\\ -x+y+z=16\\ x-y+z=4 \end{cases}$ 1,5pt
2. Un certain nombre d’oiseaux sont perchés sur trois fils $A$, $B$ et $C$. Si 10 oiseaux quittent les fils $A$ et $B$ pour s’envoler, alors les trois fils auront le même nombre d’oiseaux. Si 8 oiseaux quittent les fils $B$ et $C$ pour le fil $A$, alors le fil $A$ aura autant d’oiseaux que les deux fils $B$ et $C$ réunis. Si 2 oiseaux quittent les fils $A$ et $C$ pour le fil $B$, alors le fil $B$ aura autant d’oiseaux que les deux fils $A$ et $C$ réunis.
   1. Soit $x$, $y$ et $z$ le nombre d’oiseaux perchés respectivement sur les fils $A$, $B$ et $C$. Montrer que $x$, $y$ et $z$ vérifient le système $(S)$. 1,5pt
   2. Calculer le nombre d’oiseaux perchés sur chaque fil ainsi que le nombre total d’oiseaux au départ. 1pt

Exercice 2 (03,5 points)

Le professeur de mathématiques d’une classe de 1^ère D a représenté les notes d’un contrôle par le tableau suivant :

1. Les élèves de cette classe se proposent de désigner un comité de 6 personnes. Quel est le nombre de bureaux possible ? 0,5pt
2. De combien de façons possible peut-on constituer un comité comprenant :
   1. Des élèves qui ont obtenu au moins la note $10/20$ au contrôle ? 0,5pt
   2. Des élèves qui ont obtenu au plus la note $10/20$ au contrôle ? 0,5pt
   3. Des élèves qui ont obtenu une note comprise entre $8/20$ et $16/20$ au contrôle ? 0,5pt
   4. Des élèves qui ont obtenu une note de $08/20$ et de $14/20$ ? 0,5pt
   5. Des élèves qui ont obtenu une note entre $02/20$ et $14/20$ ? 0,5pt
3. Le professeur doit exclure de son cours tous les élèves ayant une note inférieure ou égale à $6$. De combien de façons possible peut-on constituer un comité comprenant uniquement les élèves exclus ? 0,5pt

Problème (12,5 points)

La partie A du problème est indépendante des parties B et C qui sont liées.

Partie A (05,5 points)

Ambroise a reçu un héritage de $200\,000$ FCFA. Il décide alors de placer cette somme à la banque en lui proposant un placement au taux annuel de $6\%$. Mais chaque année, la banque lui coupe $9\,000$ FCFA pour l’entretien de son compte. On appelle $C_n$ le capital acquis au bout de $n$ années de placement.

1. Montrer que $(C_n)$ vérifie la relation de récurrence : $C_{n+1}=1{,}06\,C_n-9000$. 0,75pt
2. Calculer $C_1$, $C_2$ et $C_3$. La suite $(C_n)$ ainsi obtenue est-elle arithmétique ? Est-elle géométrique ? Justifier votre réponse. 1pt
3. On définit la suite auxiliaire $(u_n)$ par $u_n=C_n-150\,000$.
   1. Montrer que $(u_n)$ est une suite géométrique dont on caractérisera la raison. 0,75pt
   2. Exprimer $u_n$ puis $C_n$ en fonction de $n$. 0,75pt
   3. De quelle somme Ambroise disposera-t-il au bout de $5$ ans ? 0,5pt
   4. Ambroise veut acheter un congélateur qui coûte $280\,000$ FCFA. Combien d’années doit-il attendre avant de disposer de cette somme ? 0,75pt

Partie B (01,75 points)

Dans le repère ci-dessous, on a représenté la courbe $(C_g)$ d’une fonction $g$ et la droite $(D)$ représentant la fonction affine $f$.

1. Déterminer graphiquement l’ensemble de définition de la fonction $g$. 0,25pt
2. Déterminer l’ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles on a :
   1. $g(x)=0$. 0,5pt
   2. $g(x)-f(x)\leq0$. 0,5pt
3. Étudier la position relative de $(C_g)$ par rapport à la droite $(D)$. 0,5pt
4. Montrer que l’expression de la fonction affine représentée par la droite $(D)$ est $f(x)=3x$. 0,5pt

Partie C (05,75 points)

1. Déterminer l’ensemble de définition $D_h$ de la fonction $h$ définie par $h(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$. 0,5pt
2. On suppose que $g(x)=ax^3+bx^2+cx$ où $a$, $b$ et $c$ sont des nombres réels. Sachant que la courbe $(C_g)$ passe par les points $(-2;-6)$, $B(-1;0)$ et $C\left(\dfrac12;-\dfrac38\right)$, montrer que les nombres $a$, $b$ et $c$ vérifient le système $(S)$ :
   $\begin{cases} a-b+c=0\\ 4a+2b+4c=-3\\ 4a-2b+c=3 \end{cases}$ 0,75pt
3. Résoudre dans $\mathbb{R}^3$ le système $(S)$. 1,25pt
4. 1. Vérifier alors que $h(x)=\dfrac{3}{x^2-1}$. 0,5pt
   2. Déterminer les limites de $h$ aux bornes de $D_h$. 1,5pt
   3. Donner le sens de variation de $h$. 0,75pt
   4. Dresser le tableau de variation de $h$. 0,75pt
5. Tracer la courbe $(C_h)$ de $h$ dans le plan muni d’un repère orthonormé $(O,I,J)$. 0,75pt