Examen blanc de maths en 1ère D

EXERCICE I 3,75 pts

Une association a réparti ses membres par tranches d’âge suivant le tableau ci-après :

1. Donner les classes de cette série statistique. 0,5pt
2. a) Compléter le tableau et construire le polygone des effectifs cumulés croissants de cette série. 1pt
   
   b) Déduire graphiquement ainsi construite une valeur approchée de la médiane. 0,5pt
3. Cette association doit élire son bureau comprenant un président, un secrétaire, un trésorier, un commissaire aux comptes et un censeur (il n’y a pas cumul de poste). Combien de bureaux peuvent-ils former sachant que leur statut stipule que le président et le trésorier doivent avoir au moins 30 ans. 0,75pt
4. Cette association doit envoyer une délégation de 8 personnes ayant au moins 2 membres du bureau la représenter à un congrès. Combien de délégations sont susceptibles de représenter cette association ? 1pt

EXERCICE II 3,75 pts

1. Montrer que $(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2=5+2\sqrt{6}$. 0,25pt
2. On considère l’équation $(E)$ : $4\sin^2x+2(\sqrt{2}-\sqrt{3})\sin x-\sqrt{6}=0$.
   1. Résoudre dans $[0;2\pi[$ l’équation $(E)$. 1,75pt
   2. Placer les images des solutions sur le cercle trigonométrique. Unité : $3$ cm. 0,75pt
   3. Quelle est la nature exacte du polygone obtenu ? 0,25pt
   4. Calculer la valeur exacte de l’aire de ce polygone. 0,5pt

PROBLÈME 12,5 pts

Le problème comporte trois parties indépendantes.

PARTIE A

On donne deux points $A$ et $B$ du plan tels que $AB=5$ cm. Soit $I$ le milieu de $[AB]$, $G$ est le barycentre du système $\{(A,1),(B,2)\}$ et $H$ est le barycentre du système $\{(A,2),(B,1)\}$.

1. Construire les points $G$ et $H$. 1pt
2. Démontrer que $G$ et $H$ sont symétriques par rapport à $I$. 0,75pt
3. Soit $(F)$ l’ensemble des points $M$ du plan tel que $(\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB})\cdot(2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}) =\dfrac{299}{4}$.
   1. Déterminer deux réels $x$ et $y$ tels que pour tout point $M$ du plan, on ait : $\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}=x\overrightarrow{MG}$ et $2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=y\overrightarrow{MH}$. 0,5pt
   2. Montrer que pour tout point $M$ du plan, on a : $\overrightarrow{MG}\cdot\overrightarrow{MH}=MI^2-\dfrac{25}{36}$. 1pt
   3. Déduire des questions précédentes la nature de $(F)$. Construire $(F)$. 1pt

PARTIE B

Soit $(U_n)$ la suite définie par $U_0=2$ et pour tout $n\in\mathbb{N}$, $U_{n+1}=-1+2U_n$.

Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O,I,J)$.

1. Sans faire de calculs, représenter les trois premiers termes de cette suite sur l’axe des abscisses. Conjecturer le sens de variation de cette suite. 1pt
2. Soit $(V_n)$ la suite définie par $V_n=-1+U_n$.
   1. Exprimer $V_{n+1}$ en fonction de $V_n$ et en déduire la nature des éléments caractéristiques de $(V_n)$. 1pt
   2. Exprimer $V_n$ puis $U_n$ en fonction de $n$. 0,5pt
   3. Déterminer la limite de la suite $(U_n)$. 0,25pt
3. On pose $S_n=V_0+V_1+V_2+\cdots+V_n$. Exprimer $S_n$ en fonction de $n$. 0,75pt

PARTIE C

Le tableau suivant est le tableau de variation d’une fonction $f$.

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations suivantes : $f'(x)<0$ ; $f'(x)=0$ et $f(x)>0$. 0,75pt
2. Déterminer les équations des tangentes à $(C_f)$ aux points d’abscisses $-1$ et $3$. 0,5pt
3. On suppose que $f(x)=\dfrac{ax^2+bx+4}{2(x-c)}$.
   1. Montrer que $c=1$. 0,25pt
   2. Déterminer en utilisant les informations du tableau les réels $a$ et $b$. 1pt
4. On suppose que $f(x)=\dfrac{x^2-x+4}{2(x-1)}$.
   1. Montrer que la droite d’équation $y=\dfrac{1}{2}x$ est asymptote à la courbe $(C_f)$. 0,5pt
   2. Déterminer l’autre asymptote à $(C_f)$. 0,25pt
5. Construire dans un repère la courbe $(C_f)$. 1pt
6. Soit $m$ un paramètre réel. Discuter graphiquement suivant les valeurs de $m$ le nombre et le signe des solutions de l’équation $x^2-(2m+1)x+4+2m=0$. 1pt