Épreuve zéro de maths Première D

PARTIE A : ÉVALUATION DES RESSOURCES 15,5 pts

Exercice 1 3 pts

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation : $(E)\; 12x^2+3600x-37200=0$. 0,75pt
2. Madame FOKOU doit rembourser une somme de 397200F en trois tranches. Le premier versement est de 120000F ; chacun des versements suivants correspond au versement précédent augmenté de $t\%$.
   1. Montrer que $t$ vérifie l’équation $(E)$ et calculer $t$. 1,5pt
   2. En déduire chacun des montants des différents versements. 0,75pt

Exercice 2 2,75 pts

Le plan est muni d’un repère $(O;I,J)$. On considère le cercle $(C)$ d’équation : $x^2+y^2+2x+4y-4=0$.

1. Déterminer les coordonnées de son centre $A$. 0,75pt
2. Soit $(D)$ la droite d’équation cartésienne $x-y+2=0$, trouver les coordonnées des points d’intersection de $(C)$ et $(D)$. 1pt
3. Soit $B(-1;1)$. Vérifier que $B$ appartient à $(C)$ et trouver une équation cartésienne de la droite $(T)$ tangente à $(C)$ en $B$. 1pt

Exercice 3 3,25 pts

Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j})$. Soient $A(1;-4)$, $B(9;-4)$ et $C(1;2)$ trois points du plan. Soit $I$ le milieu du segment $[BC]$ et $G$ l’isobarycentre des points $A$, $B$ et $C$.

1. 1. Calculer les coordonnées de $G$. 0,5pt
   2. Que représente $G$ pour le triangle $ABC$ ? 0,25pt
   3. Calculer les distances $AB$, $AC$ et $BC$. En déduire que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. 1pt
2. 1. Déterminer et construire l’ensemble $\mathcal{E}$ des points $M$ du plan tels que $MB^2+MC^2=100$. 0,5pt
   2. En déduire une représentation paramétrique de $\mathcal{E}$. 0,5pt

Exercice 4 6,5 pts

1. En remarquant que $\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}$, calculer les valeurs exactes de $\cos\dfrac{\pi}{12}$ et $\sin\dfrac{\pi}{12}$. 1pt
2. Démontrer que pour tout nombre réel $x$, $\cos3x=4\cos^3x-3\cos x$. 1pt
3. $(E)$ est l’équation $4\cos^3x-3\cos x=\dfrac{1}{2}$. Résoudre dans $]-\pi;\pi]$ l’équation $(E)$ et représenter les solutions sur le cercle trigonométrique. 2pts
4. Résoudre dans $]-\pi;\pi]$ l’inéquation $\cos(3x)\geq\dfrac{1}{2}$. 1pt
5. Résoudre dans $]-\pi;\pi]$ l’équation $2\cos^2(3x)+3\cos(3x)-2=0$. 1,5pt

Exercice 5 3,5 pts

1. Déterminer la mesure principale de $-\dfrac{89\pi}{12}$. 1pt
2. En remarquant que $\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}$, calculer les valeurs exactes de $\cos\dfrac{7\pi}{12}$ et $\sin\dfrac{7\pi}{12}$. 0,75pt
3. Pour tout réel $x\in\left]-\dfrac{\pi}{2};0\right[$, déterminer $\sin x$ sachant que $\cos x=\dfrac{1}{3}$. 0,75pt
4. Démontrer que pour tout réel $x$, $\cos^2x=\dfrac{1+\cos2x}{2}$. 0,75pt

Exercice 6 3 pts

Le plan est muni du repère orthonormé $(O;I,J)$.
$ABCD$ est un carré. On donne, en centimètres, $AB=4$. On considère l’homothétie $h$ de centre $A$ et de rapport $1{,}5$. $B'$, $C'$ et $D'$ désignent les images respectives des points $B$, $C$ et $D$ par $h$.

1. Construire les points $B'$, $C'$ et $D'$. 1pt
2. On donne $A(-2;3)$ et $B(1;-1)$ ; déterminer les coordonnées de $E$, image de $B$ par la symétrie centrale de centre $A$. 1pt
3. Soient $M(x;y)$ et $M'(x';y')$. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation $f$ telle que $f(M)=M'$ par :
   $x'=x-3$
   $y'=y+1$ 1pt

PARTIE B : ÉVALUATION DES COMPÉTENCES 4,5 pts

Madame TALLA a placé dans une banque pendant deux ans la somme de $70\,000$ FCFA à un taux annuel $x\%$ à intérêts composés (c’est-à-dire à la fin de chaque année, les intérêts produits s’ajoutent au capital pour former le nouveau capital).

Au bout de deux années, elle retire $79\,394$ FCFA. Après retrait de cet argent, elle voudrait partager équitablement la somme de $39\,200$ FCFA en un certain nombre d’enfants l’ayant aidée pour effectuer certains travaux. Quelque instants après, deux enfants s’ajoutent et la part de chaque enfant diminue donc de $2\,240$ FCFA.

Son mari, monsieur TALLA, vient d’acheter un terrain rectangulaire de périmètre $82$ mètres et d’aire $6\,400$ mètres carrés.

1. Déterminer les dimensions du terrain de monsieur TALLA. 1,5pt
2. Déterminer le taux annuel $x$ du placement de madame TALLA. 1,5pt
3. Déterminer le nombre initial d’enfants à qui madame TALLA devrait partager l’argent. 1,5pt