Épreuve de maths 5e évaluation Première D

EXERCICE 01 : (05 points)

Alain à prélevé les poids d’une douzaine d’enfants internés dans un hôpital pédiatrique de la ville de Yaoundé. Les résultats sont consignés dans le tableau suivant :

1. Déterminer le pourcentage de malade dont le poids est supérieur à 11Kg. 0,5pt
2. Calculer pour cette série statistique, la moyenne et l’écart-type. 1,25pt
   1. Construire le diagramme des effectifs cumulés croissants. 0,75pt
   2. Déterminer par calcul la médiane de cette série statistique. 0,75pt
3. Trois des enfants sont choisis pour une cérémonie de remise de dons par une autorité de la ville.
   1. Combien y a-t-il de résultats comportant :
      1. Deux enfants ayant moins de 13 Kg ? 0,5pt
      2. Au plus deux enfants ayant au moins 13 Kg ? 0,5pt
   2. Sachant que l’un des enfants devra tenir le discours de bienvenue, l’autre le bouquet de fleurs et le troisième un parapluie. De combien de façon peut-on faire cette distribution ? 0,75pt

EXERCICE 02 : (04 Points)

A- Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$ tel que $AC=\sqrt{2+\sqrt{2}}$ et $BC=2$. On désigne par $\theta$ la mesure de l’angle $\widehat{ABC}$.

1. Calculer $AB$. 0,5pt
2. Calculer $\cos\theta$ et $\cos(2\theta)$. 1pt
3. En déduire la valeur de $\theta$. 0,5pt

B- Soit $x$ un nombre réel tel que $\tan(2x)$ existe.

1. Montrer que $\tan(2x)=\dfrac{2\tan x}{1-\tan^2 x}$. 0,75pt
2. Démontrer que $\tan\!\left(\dfrac{\pi}{8}\right)$ est solution de l’équation : $x^2+2x-1=0$. 0,75pt
3. En déduire la valeur exacte de $\tan\!\left(\dfrac{\pi}{8}\right)$. 0,5pt

PROBLEME : (11 points)

Partie A

$ABC$ est un triangle de centre $O$ et de sens direct, dont le côté a une longueur de 3 centimètres. $I$ est le milieu de $[AB]$.

1. Justifier que $O=\mathrm{bar}\,((I,2)\;;\;(C,1))$. 0,75pt
2. a) Calculer $OI$. 0,5pt
   b) Déterminer et construire l’ensemble $(C)$ des points $M$ du plan tels que : $\left\Vert 2\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MC}\right\Vert=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$. 0,75pt
3. Soit $r$ la rotation de centre $O$ qui transforme $B$ en $A$.
   a) Déterminer l’angle de $r$. 0,5pt

   b) Déterminer l’image de $(C)$ par la rotation $r$. 0,5pt

Partie B

On considère la fonction $f$ dont le tableau de variation est donné ci-dessous et la suite $(U_n)$ définie par $\begin{cases} U_0=-6\\ 2U_{n+1}-U_n=0 \end{cases}$.

I-

On suppose que $f(x)=ax+\dfrac{b}{x+1}$ et on désigne par $(C_f)$

1. Écrire une équation de la tangente à $(C_f)$ au point d’abscisse $1+2\sqrt{2}$. 1pt
2. Montrer que $a=\dfrac{1}{2}$ et $b=1$. 0,5pt
3. Calculer $f(1-2\sqrt{2})$. 0,5pt
4. Justifier que $(C_f)$ admet une asymptote verticale $(D)$ et une asymptote oblique $(D')$ dont on précisera les équations. 1pt
5. Étudier la position de $(C_f)$ par rapport à la droite $(D')$. 0,5pt
6. Construire $(C_f)$ dans un repère orthonormé $(O,I,J)$, ainsi que ses asymptotes $(D)$ et $(D')$. 1,5pt

II-

1. Utiliser les droites d’équations $y=\dfrac{1}{2}x$ et $y=x$ pour construire dans le repère précédent les 4 premiers termes de la suite $(U_n)$. 1pt
2. Faire une conjecture sur le sens de variation et la convergence de la suite $(U_n)$. 0,5pt
3. Donner la nature de la suite $(U_n)$, puis exprimer $U_n$ en fonction de $n$. 0,75pt
4. On pose $V_n=U_n+2$ et $S_n=V_0+V_1+\cdots+V_n$.
   a) Exprimer $V_n$ en fonction de $n$ et en calculer sa limite. 0,75pt

   b) Exprimer $S_n$ en fonction de $n$. 0,5pt