Épreuve de maths 4e séquence Première D

Évaluation des ressources

Partie A 5,25 points

I- Soit $(u_n)$ et $(v_n)$ les suites définies par : $u_0=6$, $u_{n+1}=\dfrac15u_n+\dfrac45$, $\forall n\in\mathbb{N}$, et $v_n=u_n-1$, $\forall n\in\mathbb{N}$.

1. Représenter les quatre premiers termes de la suite $(u_n)$ dans un repère orthonormé $(O,I,J)$ d’unité $1\,\text{cm}$. Conjecturer la variation de la suite $(u_n)$. 0,75 pt
2. Démontrer que $(v_n)$ est une suite géométrique et en préciser la raison et le premier terme. 0,75 pt
3. 1. Exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$. 0,5 pt
   2. Calculer la limite de $v_n$ et en déduire celle de $u_n$. 0,5 pt
   3. La suite $(u_n)$ est-elle convergente ou divergente ? 0,25 pt
4. Exprimer $T_n=v_0+v_1+\cdots+v_n$ et $S_n=u_0+u_1+\cdots+u_n$ en fonction de $n$. 0,75 pt

II- L’entraîneur sélectionneur des Lions indomptables, pour son prochain match du CHAN contre le Zimbabwe, doit choisir $11$ premiers entrants parmi les $23$ joueurs dont il dispose et titulariser $8$ joueurs.

1. De combien de façons peut-il constituer une équipe ? 0,5 pt
2. De combien de façons peut-il choisir $8$ titulaires parmi les $11$ entrants ? 0,5 pt
3. Sachant qu’il a d’avance $6$ joueurs titulaires, de combien de façons peut-il choisir les $11$ entrants ? 0,75 pt

Partie B 2,5 points

1. On considère l’expression : $A(x)=2\cos^2x-2\sqrt3\sin x\cos x-1$.
   1. Montrer que $A(x)=-\sqrt3\sin2x+\cos2x$. 0,5 pt
   2. Résoudre dans $]-\pi;\pi]$ l’équation $A(x)=1$. 0,75 pt
2. $ABC$ est un triangle, $I$ et $G$ sont définis par : $\overrightarrow{AI}=-2\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CG}=\dfrac15\overrightarrow{CI}$.
   1. Exprimer $G$ comme barycentre des points $A$, $B$ et $C$. 0,5 pt
   2. Déterminer et tracer l’ensemble des points $M$ du plan tels que : $\lVert3\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}\rVert=\lVert\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MI}\rVert$. 0,75 pt

Partie C 7,75 points

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=\dfrac{3x^2-x-2}{x-3}$. On note $(C_f)$ sa représentation graphique dans un repère orthonormé $(O,\vec i,\vec j)$ d’unité $1\,\text{cm}$.

1. Déterminer le domaine de définition de $f$ sous la forme d’une réunion d’intervalles. 0,5 pt
2. Calculer la dérivée $f'(x)$ de $f$ et en déduire les variations de $f$. 1,25 pt
3. Calculer les limites aux bornes du domaine de définition et dresser le tableau de variation de $f$. 1,5 pt
4. Déterminer trois réels $a$, $b$ et $c$ vérifiant : $f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x-3}$. 0,75 pt
5. Montrer que la droite $(D)$ d’équation $y=3x+8$ est une asymptote à la courbe $(C_f)$. Préciser les autres asymptotes. 0,75 pt
6. Étudier la position de la droite $(D)$ par rapport à la courbe $(C_f)$. 0,75 pt
7. Déterminer l’équation de la tangente $(T)$ au point d’abscisse $2$. 0,5 pt
8. Construire $(T)$, $(D)$, $(C_f)$ ainsi que les autres asymptotes dans le repère $(O;\vec i;\vec j)$. 1,75 pt

Évaluation des compétences 4,5 points

À un certain arrêt de bus, il a été établi que, pendant les $30$ premières secondes de démarrage, la distance $d$ (en mètres) parcourue par le bus et le temps $t$ (en secondes) mis pour effectuer ce parcours sont liés par la relation : $d=\dfrac{t^2}{10}$.

Tâche 1

Au moment où le bus démarre, un cycliste apparaît derrière le bus, à $22{,}5$ m de l’arrêt, à la vitesse de $18\,\text{km/h}$. À quelle distance de l’arrêt le bus rattrape-t-il le cycliste ? Peut-on assurer que le bus dépasse le cycliste à nouveau ? 1,5 pt

Tâche 2

Au moment où le bus démarre, il apparaît aussi à $22{,}5$ m de l’arrêt un passager potentiel qui se met aussitôt à poursuivre le bus à la vitesse constante $v=9\,\text{km/h}$. Peut-il rattraper le bus ? Sinon, quelle est la distance minimale qui le séparera du bus pendant la poursuite ? 1,5 pt

Tâche 3

Au moment où le bus démarre, apparaît aussi à $22{,}5$ m de l’arrêt un autre passager potentiel qui se met aussitôt à poursuivre le bus à la vitesse constante $v$. Quelle est la valeur minimale de $v$ pour que ce passager rattrape le bus ? 1,5 pt