Épreuve de maths 4e séquence 1ère D

ÉVALUATION DES RESSOURCES

EXERCICE 1 (3,5 pts)

1. Montrer que pour tout nombre réel $\alpha$ on a : $\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1$. 0,5pt
2. En remarquant que $\dfrac{\pi}{4}=2\times\dfrac{\pi}{8}$, démontrer que $\cos\dfrac{\pi}{8}=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$. 0,5pt
3. Calculer $(4+\sqrt{3})^2$ et donner le résultat sous la forme $a+b\sqrt{3}$ où $a$ et $b$ sont des entiers. 0,5pt
4. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation : $2x^2+(\sqrt{3}+4)x-2\sqrt{3}=0$. 0,5pt
5. 1. Démontrer que : $-2\cos^2 x+(\sqrt{3}-4)\sin x+2-2\sqrt{3} =2\sin^2 x+(\sqrt{3}+4)\sin x+2\sqrt{3}$. 0,5pt
   2. Résoudre dans $]-\pi;\pi]$ l’équation : $-2\cos^2 x+(\sqrt{3}-4)\sin x+2-2\sqrt{3}=0$. 0,5pt
   3. Placer les solutions sur le cercle trigonométrique. 0,5pt

Problème (12 pts)

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A (Unité : cm)

$ABC$ est un triangle en $C$ tel que $BC=2$ et $AC=3$. $I$ est le barycentre du système : $I=\mathrm{Bar}\{(A,2);(B,5);(C,-3)\}$. $J$ est le point du plan tel que : $\overrightarrow{BJ}=-\dfrac{3}{2}\overrightarrow{BC}$.

1. Montrer que les points $I$ est barycentre des points $B$ et $C$ affectés des coefficients que l’on déterminera. 1pt
2. Démontrer que les points $A$, $I$ et $J$ sont alignés. 1pt
3. 1. Placer les points $I$ et $J$. 1pt
   2. Donner la nature et les éléments caractéristiques de l’ensemble $(C)$ des points $M$ du plan tel que $AM^2+JM^2=35$. 1pt
   3. Tracer $(C)$. 1pt

Partie B

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $$ f(x)=\dfrac{x^2+7x+10}{x+1} $$ et on note $(C_f)$ sa représentation graphique dans un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j}) (unités : $1\text{ cm}$ par axe).

1. Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ tels que : $f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x+1}$ pour $x\in\mathbb{R}\setminus\{-1\}$. 1pt
2. Étudier les limites de $f$ en $-1$ puis déduire que la courbe $(C_f)$ admet une asymptote verticale $(D)$ dont on précisera une équation. 1pt
3. Étudier les limites de $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$. $(C_f)$ admet-elle une asymptote horizontale ? 1pt
4. Démontrer que la droite $(\Delta)$ d’équation $y=x+6$ est asymptote oblique à la courbe $(C_f)$ et préciser la position relative de $(C_f)$ et de $(\Delta)$. 1pt
5. Montrer que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}\setminus\{-1\}$, calculer sa dérivée $f'$ et étudier son signe. En déduire le tableau de variation de $f$. 2pts
6. Déterminer les équations des tangentes $T_{-2}$ et $T_{-3}$ aux points de la courbe d’abscisses respectives $-2$ et $-3$. 2pts
7. Tracer dans le repère $(D)$, $(\Delta)$ et $(C_f)$. 1pt
8. Montrer que le point $\Omega(-1;-5)$ est centre de symétrie pour la courbe $(C_f)$. 1pt

II-

Ci-dessous est donnée la courbe $(C_g)$ représentant une fonction $g$ définie et dérivable sur l’intervalle $[1;6]$.

1. Par lecture graphique, donner sans justifier la valeur de : $g(3)$ ; $g'(3)$ ; $g(6)$ ; $g'(6)$.
2. Le graphique ne permet pas la lecture de $g'(4)$. Préciser son signe. Justifier votre réponse.

EVALUATION DES COMPETENCES (4,5 points)

Situation :

• Lors des évaluations de fin d’une séquence, on constate que $25$ élèves ont eu au moins $10/20$ en Maths, $35$ en Physiques et $45$ élèves dans l’une ou l’autre des deux matières. On désigne par $x$, $y$ et $z$ le nombre d’élèves qui ont respectivement eu au moins $10/20$ en maths exclusivement, en Physiques exclusivement et dans les deux matières.
• $5$ élèves de cette classe dont $2$ filles sont candidats à l’élection d’un bureau constitué d’un Chef de classe, d’un Chef-Adjoint et d’un Délégué. On admet qu’il n’y a pas de cumul.

1. Justifier que $x$, $y$ et $z$ vérifient le système suivant :
   $$ \begin{cases} x+y+z=45\\ x+z=25\\ z+y=35 \end{cases} $$
   et en déduire les valeurs de $x$, $y$ et $z$. 1,5pt
2. Combien peut-on avoir de bureaux ayant une seule fille au poste de Chef ? 1,5pt
3. Combien peut-on avoir de bureaux ayant un homme comme Délégué ? 1,5pt