Épreuve de mathématiques 1re séquence Première D

Exercice 1 [2,5 points]

Soit $m$ un nombre réel. On considère l’équation $(E)$ : $mx^2 + (m + 1)x + 2m + 2 = 0$

1. Résoudre cette équation pour $m = 0$ 0,5 pt
2. On suppose que $m \ne 0$. Déterminer les valeurs du nombre réel $m$ pour lesquelles : 1 pt
   1. L’équation n’a pas de solution.
   2. L’équation a deux solutions de signes contraires.
   3. L’équation a deux solutions négatives. 0,5 pt

Exercice 2 [4,5 points]

Soit le polynôme $P$ défini par : $P(x) = -2x^3 + 3x^2 + 5x - 6$.

1. Calculer $P(2)$ et conclure. 0,5 pt
2. Écrire $P(x)$ sous la forme $P(x) = (x - 2)(ax^2 + bx + c)$ où $a$, $b$ et $c$ sont des réels à déterminer. 1 pt
3. Écrire $P(x)$ sous forme d’un produit de facteurs du premier degré. 1,25 pt
4. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $P(x) = 0$. 0,5 pt
5. Dresser le tableau de signe de $P(x)$. 0,75 pt
6. En déduire la résolution dans $\mathbb{R}$ de l’inéquation $P(x) < 0$ 0,5 pt

Exercice 3 [4 points]

1. Résoudre dans $\mathbb{R}^3$ par la méthode du pivot de Gauss le système 2,25 pts
   $(S)$

   {

   $x + y + z \;=\; 75$

   $2x + y + z \;=\; 105$

   $6x + 3y + 4z \;=\; 340$

2. Des hommes d’affaires organisent une partie de chasse aux buffles, aux pigeons et aux oies.

   À leur retour, on compte au total 75 têtes et 210 pattes d’animaux tués. Le transporteur perçoit une somme de 170 000 FCFA à raison de 3 000 FCFA par buffle, 1 500 FCFA par pigeon et 2 000 FCFA par oie.

   NB : Un buffle a 4 pattes, un pigeon a 2 pattes et une oie a aussi 2 pattes.

   1. En désignant par $x$, $y$ et $z$ le nombres respectifs de buffles, de pigeons et d’oies, montrer que $x$, $y$ et $z$ vérifient le système $(S)$. 1 pt
   2. Déduire le nombre d’animaux de chaque espèce. 0,75 pt

Problème [9 points]

Le problème comporte trois parties I, II et III indépendantes.

I/

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ : 1 × 2 = 2 pts
   1. $\sqrt{2x - 3} = x - 3$ ;
   2. $\sqrt{4x + 1} \le x - 1$.
2. Déterminer les valeurs des réels $x$ et $y$ tels que 1,5 pt
   {

   $\dfrac{x^2}{y} + \dfrac{y^2}{x} = 0$

   $xy = -1$

II/

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $(E)$ : $x^2 + 102x - 880 = 0$. 1 pt
2. Mme PRISCILLE a placé une somme de 45 000 Frs dans une banque au taux de $x\%$ pendant un an. La banque ayant connu des problèmes, elle a retiré son capital ainsi que les intérêts annuels et a placé toute la somme ainsi obtenue dans une autre banque au taux d’intérêt de $y\%$ pendant un an. Elle a alors obtenu un intérêt de 4 860 Frs dans cette dernière banque.
   1. Exprimer le capital total $C$ obtenu après la première année en fonction de $x$. 0,5 pt
   2. Exprimer l’intérêt $I$ obtenu à la deuxième année en fonction de $x$ et $y$. 0,5 pt
   3. Sachant que $y - x = 2$, montrer que $x$ vérifie l’équation $x^2 + 102x - 880 = 0$. 1 pt
   4. En déduire les valeurs de $x$ et de $y$. 0,5 pt

III/

1. Soient $\vec{u} = 3\overrightarrow{MA} - 3\overrightarrow{MB}$ et $\vec{w} = 6\overrightarrow{MA} + 4\overrightarrow{MB} - 7\overrightarrow{MC}$ deux vecteurs.
   1. Montrer que le vecteur $\vec{u}$ est indépendant du point $M$. 0,5 pt
   2. On pose $G = \text{bar}\{(A,6),(B,4),(C,-7)\}$. Réduire le vecteur $\vec{w}$. 0,5 pt
2. Soient $A$, $B$ et $I$ trois points du plan tels que $AB = 4\,\text{cm}$ et $I$ est le milieu de $[AB]$.
   1. Construire le point $G$ barycentre des points pondérés $(A,2)$ et $(B,-1)$. 0,5 pt
   2. Écrire $I$ comme barycentre de $(G,\alpha)$ et $(I,\beta)$ où $\alpha$ et $\beta$ sont à déterminer. 0,5 pt