Devoir de maths 4e séquence 1ère D

Partie A : Évaluation des ressources 15,5 points

L’épreuve comporte trois exercices et un problème obligatoires étendus sur deux pages.

Exercice 1 4 points

On considère l’expression $P(x)=\cos 4x-5\cos 2x-6$ dans laquelle $x$ est un nombre réel appartenant à l’intervalle $]-\pi,\pi]$.

1. Exprimer $P(x)$ en fonction de $\cos 2x$ seulement. 1 pt
2. Résoudre alors dans $]-\pi,\pi]$, l’équation $2\cos^2 2x-5\cos 2x-7=0$. 2 pts
3. Placer les solutions sur le cercle trigonométrique. 1 pt

Exercice 2 4,5 points

$ABCD$ est un carré de sens direct de centre $O$ et de côté $3\ \text{cm}$. On note $r$ la rotation de centre $O$ et d’angle de mesure $-\dfrac{\pi}{2}$ ; $h$ l’homothétie de centre $O$ et de rapport $3$.

1. Déterminer les images des points $A$, $B$, $C$, $D$ et $O$ par la rotation $r$. 1,25 pt
2. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation $h\circ r$. 0,75 pt
3. Construis le point $E$ tel que $AEB$ soit un triangle équilatéral de sens direct. 0,25 pt
4. On note $G$ le barycentre des points pondérés $(A,2)$ ; $(B,1)$ et $(E,1)$ ; $I$ le milieu du segment $[BE]$.
   1. Montrer que le point $G$ est le milieu du segment $[AI]$. 0,5 pt
   2. Montrer que $AI^2=\dfrac{27}{4}$. 0,5 pt
   3. $(\tau)$ est l’ensemble des points $M$ du plan tels que $AM^2+IM^2=\dfrac{27}{4}$.
      1. Montrer que $AM^2+IM^2=2GM^2+\dfrac{AI^2}{2}$. 0,5 pt
      2. Déterminer et construire l’ensemble $(\tau)$. 0,75 pt

Exercice 3 7,5 points

On considère la fonction $f$ de variable réelle $x$ définie par $f(x)=\dfrac{2x^2+5x}{2(x+1)}$ ; $(C)$ sa courbe représentative dans le plan, et $D_f$ son domaine de définition.

1. Déterminer le domaine de définition de $f$. 0,5 pt
2. Calculer les limites aux bornes de $D_f$. 1 pt
3. Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ tels que pour tout $x$ élément de $D_f$, $f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x+1}$. 1,5 pt
4. Justifier que $f$ est dérivable pour tout élément de $D_f$ et calculer sa dérivée $f'(x)$. 1 pt
5. Montrer que la droite d’équation $y=x+\dfrac{3}{2}$ est asymptote oblique à $(C)$. 0,5 pt
6. Dresser le tableau de variation de $f$. 0,75 pt
7. Montrer que le point $I(-1;\dfrac{3}{2})$ est un centre de symétrie de $(C)$. 0,5 pt
8. Déterminer une équation cartésienne de la tangente $(T)$ à $(C)$ au point d’abscisse $0$. 0,5 pt
9. Tracer $(C)$ et $(T)$. 1,25 pt

Partie B : Évaluation des compétences 4,5 points

Plan de fondation de M. Sangolna

Monsieur SANGOLNA désire construire un grand entrepôt trapézoïdal $BDFE$ sur son terrain (voir le schéma ci-dessus) de forme d’un triangle rectangle isocèle $ABC$ tel que $BA = BC = 5\ \text{dam}$ et $D$ est le milieu du segment $[BC]$. Le concepteur du plan de fondation de cet entrepôt omis de mentionner la distance $BE$. Son fils HERCULE, élève en classe de première D, en posant $BE = x$ démontre que l’aire en $\text{dam}^2$ de cet entrepôt est $A(x)=-\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{15}{4}x$. Sur le plan d’équipement, est prévue une caméra de surveillance fixée en un point $M$ tel que $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=-4$.

1. Montrer que HERCULE a bien fait ses calculs. 1,5 pt
2. Déterminer la valeur de $x$ pour que cet entrepôt soit maximal. 1,5 pt
3. Déterminer les positions possibles de fixation de la caméra. 1,5 pt