Devoir de mathématiques 3e séquence Première D

PARTIE A : ÉVALUATION DES RESSOURCES 15,5 points

EXERCICE 1 4,5 points

1. 1. Montrer que : $(\sqrt{3}-1)^2 = 4-2\sqrt{3}$. 0,25 pt
2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation : $2x^2-(\sqrt{3}+1)x+\dfrac{\sqrt{3}}{2}=0$. 0,75 pt
3. En déduire dans $[0;2\pi[$ l’ensemble solution de l’équation : $(E):\;2\cos^2 x-(\sqrt{3}+1)\cos x+\dfrac{\sqrt{3}}{2}=0$. 1,25 pt
4. Représenter les points images des solutions de $(E)$ sur un cercle trigonométrique. 0,75 pt
5. B) $E$ est un plan vectoriel réel euclidien orienté dont une base orthonormée directe est $\mathcal{B}=(\vec{i},\vec{j})$.

   On considère le vecteur $\vec{u}=-\dfrac12\vec{i}+\dfrac{\sqrt3}{2}\vec{j}$ et $\theta\in[0;\pi]$ la mesure en radians de l’angle $(\vec{i},\vec{u})$.

   1. Calculer $\|\vec{u}\|$. 0,5 pt
   2. Calculer $\cos\theta$ et $\sin\theta$, puis en déduire $\theta$. 1 pt

EXERCICE 2 3 points

Deux villes $A$ et $B$ sont distantes de $46\,\text{km}$ ; le trajet $AB$ comporte un terrain plat, une montée et une descente. Un cycliste va de $A$ vers $B$ en $2\,\text{h}\,30\,\text{min}$ et revient de $B$ vers $A$ en $2\,\text{h}\,24\,\text{min}$.

On suppose que les vitesses moyennes du cycliste sur les trois portions sont respectivement $20\,\text{km/h}$, $12\,\text{km/h}$ et $30\,\text{km/h}$. On désigne par $x$ la longueur du terrain plat, $y$ celle de la montée et $z$ celle de la descente.

1. Montrer que les réels $x$, $y$ et $z$ sont solutions du système $(S)$ :

   $\begin{cases} x+y+z=46\\ 3x+5y+2z=150\\ 3x+2y+5z=144 \end{cases}$

   1,25 pt
2. Résoudre dans $\mathbb{R}^3$ le système $(S)$. 1,25 pt
3. En déduire la longueur de chacune des portions du trajet $AB$. 0,5 pt

EXERCICE 3 4 points

On donne deux points $A$ et $B$ du plan tels que $AB=5\,\text{cm}$. Soit $I$ le milieu de $[AB]$. On note $G$ le barycentre du système $\{(A,1);(B,2)\}$ et $H$ celui du système $\{(A,2);(B,1)\}$.

1. Construire les points $G$ et $H$. 0,5 pt
2. Démontrer que $G$ et $H$ sont symétriques par rapport à $I$. 0,5 pt
3. Soit $(\mathcal{E})$ l’ensemble des points $M$ du plan tels que : $(\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB})\cdot (2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}) =\dfrac{299}{4}$.
   1. Déterminer deux réels $x$ et $y$ tels que, pour tout point $M$ du plan, on ait : $\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}=x\overrightarrow{MG}$ et $2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=y\overrightarrow{MH}$. 1 pt
   2. Montrer que pour tout point $M$ du plan, on a : $\overrightarrow{MG}\cdot\overrightarrow{MH} =MI^2-\dfrac{25}{36}$. 1 pt
   3. Déduire des questions précédentes la nature de $(\mathcal{E})$. Construire l’ensemble $(\mathcal{E})$. 1 pt

EXERCICE 4 4 points

Soit les fonctions numériques suivantes : $f : [-3;3]\to\mathbb{R}$ et $g : [-1;5]\to\mathbb{R}$, définies par $x\mapsto x^2$ et $x\mapsto x^2-4x+5$. $(\mathcal{C})$ et $(\Gamma)$ sont respectivement les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ dans un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j})$.

1. Construire la courbe $(\mathcal{C})$. 0,5 pt
2. Vérifier que pour tout $x\in[-1;5]$, $g(x)=f(x-2)+1$. 0,5 pt
3. Comment peut-on déduire la courbe $(\Gamma)$ de la courbe $(\mathcal{C})$ ? 0,5 pt
4. Représenter la courbe $(\Gamma)$ dans le même repère que $(\mathcal{C})$. 0,75 pt

B) On considère la fonction $h$ définie par : $h(x)=\dfrac{x^2-x-1}{x-2}$. $(\mathcal{C}_h)$ est sa courbe représentative dans le repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j})$.

1. Déterminer l’ensemble de définition de $h$. 0,25 pt
2. Déterminer trois réels $a$, $b$ et $c$ tels que, pour tout $x\ne2$ : $h(x)=ax+b+\dfrac{c}{x-2}$. 0,75 pt
3. Montrer que le point $S(2;3)$ est un centre de symétrie de $(\mathcal{C}_h)$. 0,75 pt

PARTIE B : ÉVALUATION DES COMPÉTENCES 4,5 points

Compétence visée : Reconnaissance et production des formes planes, détermination des mesures et des positions.

SITUATION

Aux extrémités $E$ et $F$ d’une perche de longueur $2$ mètres, deux seaux sont fixés, l’un de $20\,\text{kg}$ en $E$ et l’autre de $5\,\text{kg}$ en $F$ (voir figure 1). ISSA est un porteur d’eau et utilise ce dispositif pour livrer de l’eau dans un chantier qui fabrique deux types de plaques de plâtre : type 1 et type 2.

Chaque plaque de plâtre de type 1 a la forme d’un triangle rectangle dont l’aire est $\alpha_1=24\,\text{cm}^2$ et la valeur absolue de la différence des carrés des longueurs des côtés adjacents à l’angle droit est égale à $28\,\text{cm}^2$.

La plaque de plâtre de type 2 a la forme d’un trapèze $ABCD$ d’aire $180\,\text{cm}^2$.

Tâches

1. En quel point $G_1$ de la perche ISSA doit-il poser son épaule pour trouver l’équilibre ? 1,5 pt
2. Calculer les dimensions de la plaque de plâtre de type 1. 1,5 pt
3. Calculer les dimensions de la plaque de plâtre de type 2. 1,5 pt