Devoir de mathématiques 2e séquence Première D

Exercice 1 : 4 pts

Résoudre les systèmes suivants :

a) $\begin{cases} x^2+y^2=10\\ x+y=\dfrac{5}{2} \end{cases}$

b) $\begin{cases} \sqrt{x}+\sqrt{y}=27\\ xy=36 \end{cases}$

Exercice 2 : 3.5 pts

$ABC$ est un triangle. On désigne par $A'$, $B'$ et $C'$ les milieux respectifs des côtés $[BC]$, $[CA]$ et $[AB]$. $D$ est le point tel que $\overrightarrow{AD}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}$.

1) Réaliser une figure. 0.5pt

2) Écrire $D$ comme barycentre des points $A$ et $B$ affectés des coefficients que l’on précisera. 0.75pt

3) Soit $E$ le barycentre des points $(A,2)$ ; $(B,1)$ et $(C,1)$.

a) Montrer que $E$ est le milieu du segment $[A'C]$. 0.75pt

b) Montrer que les points $C$, $D$ et $E$ sont alignés. 0.5pt

4) Démontrer que les droites $(AA')$, $(B'C')$ et $(CD)$ sont concourantes. 1pt

Exercice 3 : 4.5 pts

1) Résoudre dans $\mathbb{R}$ le système :

$\begin{cases} x+y+z=90\\ 6x+3y+4z=380\\ 2x+y+z=125 \end{cases}$ 3pts

2) Deux hommes d’affaires organisent un partage de chasse aux antilopes, aux autruches et aux oies. À leur retour, on lit sur le rapport de chasse : « 90 têtes et 250 pattes d’animaux tués. Le transporteur perçoit une somme de $19000\ \text{F}$ : antilope à $3000\ \text{F}$ par tête, autruche à $1500\ \text{F}$ par tête et oie à $200\ \text{F}$ par tête. Combien d’antilopes, d’autruches et d’oies ont été ramenées de cette partie de chasse ? » 1.5pt

Exercice 4 : 3.5 pts

Soit l’équation $(E)$ : $x^4+10x^3+26x^2+10x+1=0$.

1) a) Montrer que $0$ n’est pas solution de $(E)$. 0.5pt

1) b) En déduire que l’équation $(E)$ a mêmes solutions que l’équation $(E')$ : $x^2+10x+26+\dfrac{10}{x}+\dfrac{1}{x^2}=0$. 0.75pt

2) On pose $X=x+\dfrac{1}{x}$. 0.75pt

a) Montrer que $X^2-2=x^2+\dfrac{1}{x^2}$. 0.5pt

b) Montrer que si $x$ est solution de $(E')$ alors $X$ est solution de l’équation $(E'')$ : $X^2+10X+24=0$. 0.75pt

c) Résoudre $(E'')$ puis déduire les solutions de $(E)$. 1pt

Partie B : Evaluation des competences 4.5pts

L’association $AJB$ décide d’acheter un terrain rectangulaire de périmètre $292\ \text{m}$ et d’aire $5185\ \text{m}^2$ coûtant $7862500\ \text{FCFA}$.

Afin d’obtenir ce montant pour l’achat, le club décide de placer les $7000000\ \text{FCFA}$ dont elle dispose dans un fonds, dans un élan de trois ans au taux d’intérêt composé de $x\%$ (à la fin de première année, le capital s’ajoute aux intérêts pour donner le nouveau capital). Dans la même ville, une autre association $AJB$ intéressée par le même terrain décide que chacun de ses membres doit contribuer équitablement pour l’achat de ce terrain. Le jour de la contribution, $10$ membres résistent et chacun des membres présents doit alors contribuer $12500\ \text{FCFA}$ de plus.

1) Déterminer les dimensions de ce terrain. 1.5pt

2) Déterminer le taux d’intérêt du placement. 1.5pt

3) Déterminer le nombre de membres de l’association $AJB$. 1.5pt