Devoir de mathématiques 1re séquence Première D

Exercice 1 (06 points)

I. Système d’équations

1. Résoudre dans $\mathbb{R}^3$ le système suivant : 1,5 pt
   {

   $y - 2z = 0$

   $x - y - z = 0$

   $5x + 4y + 3z = 52\,000$

2. Cinq hommes, quatre femmes et trois enfants se partagent 52 000 F. La part d’un homme est égale à la somme des parts d’une femme et d’un enfant. La part de chaque enfant est la moitié de celle d’une femme. Déterminer la part d’un homme, celle d’une femme et celle d’un enfant. 1 pt

II. Équation du second degré

1. Calculer $227^2$. 0,5 pt
2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $(E)$ : $2x^2 + 203x - 1290 = 0$. 1 pt
3. Ambroise a placé une somme de 120 000 FCFA dans une banque au taux de $x\%$ pendant un an. La banque ayant connu des problèmes, Ambroise a retiré son capital ainsi que ses intérêts annuels et a placé toute la somme ainsi obtenue dans une autre banque au taux de $y\%$ pendant un an. Il a alors obtenu un intérêt de 9 540 FCFA dans cette dernière banque.
   1. Sachant que $y - x = 1{,}5$, démontrer que $x$ vérifie l’équation $(E)$ de 2). 1,5 pt
   2. Calculer le taux d’intérêt dans la première banque. 0,5 pt

Exercice 2 (08,5 points)

I. Équation trigonométrique

1. Calculer $(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2$. 0,5 pt
2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation : $4x^2 + 2(\sqrt{3}+\sqrt{2})x + \sqrt{6} = 0$. 1 pt
3. En déduire dans $\mathbb{R}$ les solutions de l’équation : $-4\sin^2 x + 2(\sqrt{3}+\sqrt{2})\cos x + \sqrt{6} + 4 = 0$. 1,5 pt
4. 1. Placer les images des solutions de $(E)$ sur le cercle trigonométrique (Unité : 3 cm sur les axes). 0,75 pt
   2. Quelle est la nature du polygone obtenu ? 0,25 pt
   3. Calculer la valeur exacte de l’aire de ce polygone. 1 pt

II. Barycentre et ligne de niveau

Dans le plan on considère un triangle $ABC$ tel que : $AB = 7$, $BC = 4$ et $AC = 5$. Soit $I$ le milieu de $[BC]$.

1. Montrer que $AI=\sqrt{33}$. 0,5 pt
2. Montrer que le vecteur $\vec{u}=-2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}$ est indépendant du point $M$. 0,5 pt
3. Exprimer alors $\vec{u}$ en fonction de $\overrightarrow{AI}$. 0,5 pt
4. Déterminer l’ensemble $(E)$ des points $M$ du plan tels que : $-2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=-58$. 0,75 pt
5. Soit $D$ le barycentre du système $\{(A,-1),(B,1),(C,1)\}$.
   1. Donner la nature du quadrilatère $ABCD$. 0,5 pt
   2. Déterminer l’ensemble $(F)$ des points $M$ du plan tels que : $2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=-25$. 0,75 pt

Problème (05,5 points)

L’unité de longueur est le cm. $ABC$ est un triangle tel que $AB=8$, $BC=6$ et $AC=10$. $I$ est le milieu de $[BC]$.

1. Construire le point $G$ tel que $G$ est le barycentre des points $(A,2)$ ; $(B,-1)$ et $(C,1)$. 0,5 pt
2. Donner la nature du quadrilatère $ABIG$ et du triangle $BCG$ en justifiant votre réponse par calcul. 1 pt
3. Soit $M$ un point du plan. On définit l’application $f$ du plan par : $f(M)=2MA^2-MB^2+MC^2$.
   1. Montrer que $f(M)=2(MG^2+GA^2)$. 1 pt
   2. Déterminer et construire l’ensemble $(E)$ des points $M$ du plan tels que $f(M)=36$. 1 pt
4. On définit l’application $g$ du plan par : à tout point $M$ du plan, on fait correspondre le point $M'$ défini par : $\overrightarrow{MM'}=\dfrac{3}{2}\left(2\overrightarrow{MA} -\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right)$.
   1. Démontrer que cette application $g$ est une homothétie dont on précisera son centre et son rapport. 1 pt
   2. Lorsque $M$ décrit l’ensemble $(E)$, quel est l’ensemble $(E')$ décrit par $M'$ ? 0,5 pt