Composition de maths 5e séquence Première D

PARTIE A : ÉVALUATION DES RESSOURCES (15,5 points)

EXERCICE 1 : 5 points

L’unité de longueur est le centimètre. $ABC$ est un triangle rectangle en $A$ tel que $AB=6$ et $AC=8$. $I$ est le milieu du segment $[BC]$. $g$ est l’application du plan dans lui-même qui à tout point $M$ associe $g(M)=MB^2+MC^2$.

1. Calculer $g(B)$. 0,5pt
2. Déterminer l’ensemble des points $M$ du plan tels que $g(M)=100$. 1pt
3. On pose $\alpha=\mathrm{mes}(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA})$.
   1. Calculer $\cos\alpha$. 0,5pt
   2. Déduire la valeur exacte de $\cos2\alpha$. 0,5pt
   3. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $\cos2x=\dfrac{4}{5}$. 0,5pt

EXERCICE 2 : 4,5 points

Les notes sur 80 obtenues par un groupe de 60 élèves au devoir de mathématiques sont regroupées dans le tableau suivant :

1. Recopier et compléter le tableau ci-dessus. 1,25pt
2. Construire le polygone des effectifs cumulés décroissants et en déduire la valeur graphique de la médiane. 1,25pt
3. Retrouver par interpolation linéaire la valeur de la médiane. 0,5pt
4. Calculer à $10^{-2}$ près la valeur de la moyenne et de l’écart type. 1pt
5. On doit former un groupe de 5 personnes avec les élèves ayant obtenu une note supérieure ou égale à 50 pour représenter la classe. Combien de groupes distincts peut-on ainsi former ? 0,5pt

EXERCICE 3 : 4,5 points

Soit $f$ la fonction de la variable numérique telle que $f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x}$ définie pour tout réel $x$ non nul. On note $(C_f)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan.

1. On suppose que $(C_f)$ passe par les points $D(1;401)$, $E(-5;-85)$ et $F(4;104)$. Déterminer les valeurs des réels $a$, $b$ et $c$. 1pt
2. Pour la suite on prendra $f(x)=\dfrac{x^2+400}{x}$.
   1. Calculer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition. 1pt
   2. Donner en justifiant les équations des asymptotes à la courbe $(C_f)$. 0,5pt
   3. Étudier les variations de $f$ et dresser son tableau de variation sur $\mathbb{R}\setminus\{0\}$. 1pt
   4. Construire soigneusement la courbe de $f$. 1pt

EXERCICE 4 : 5,5 points

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=0$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\dfrac{2u_n+1}{u_n+2}$.

1. Calculer $u_1$ et $u_2$. La suite $(u_n)$ est-elle arithmétique ? 1pt
2. On pose pour tout entier naturel $n$, $v_n=\dfrac{1+u_n}{2-2u_n}$.
   1. Démontrer que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $S$ dont on déterminera le premier terme. 1pt
   2. Exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$. 1pt
3. On pose pour tout entier naturel $n$, $S_n=v_0+v_1+\cdots+v_{n-1}$. Calculer en fonction de $n$ la valeur de $S_n$. 0,5pt

PARTIE B : ÉVALUATION DES COMPÉTENCES 4,5 points

Cédric et Abdel sont tous deux élèves dans un lycée moderne de la ville de Douala. Toute leur salle de classe décide d’organiser une excursion. Pour cela ils doivent louer un bus pour le transport.

• Si le groupe d’élèves est seul alors ils payent 105 500 FCFA. Mais si la professeure titulaire et ses 2 collègues accompagnent alors ils devront payer 96 000 FCFA à raison d’une réduction de 500 FCFA par ticket de voyage.
• Afin d’avoir l’argent nécessaire pour faire partie de l’excursion, Cédric et Abdel décident de faire un petit job de défrichage sur un terrain ayant la forme d’un triangle rectangle dont le côté le plus long mesure 50 m et le périmètre de ce champ est de 120 m. Dix (10) mètre-carrés de défrichage étant estimé à 1000 FCFA.
• Le défrichage de ce champ s’effectue en deux (02) jours. Chaque soir après le travail, Cédric et Abdel se rendent dans un restaurant pour refaire le plein d’énergie. Le premier soir, Cédric commande 7 beignets et un bol de bouillie, puis paie 625 FCFA. Abdel débourse 650 FCFA pour 6 beignets et 2 bols de bouillie.
• Le deuxième soir, Cédric commande 4 beignets et un bol de bouillie tandis que Abdel commande 5 beignets et un bol de bouillie.

Tâches :

1. Combien d’élèves compte cette salle de classe et quel est le prix d’un ticket de voyage pour l’excursion ? 1,5pt
2. Combien rapportera le défrichage complet du champ à Cédric et Abdel ? 1,5pt
3. Quelle somme totale devront payer les deux élèves le deuxième soir du défrichage ? 1,5pt