Composition de maths 4e séquence Première D

A. Évaluation des ressources 15,5 pts

Exercice 1 4 pts

On considère la suite $(U_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définie par : $U_0=1$ et $U_{n+1}=0{,}5\,U_n+0{,}25$.

1. Calculer $U_1$, $U_2$ et $U_3$. 0,75 pt
2. On considère la suite $(W_n)$ définie par : $W_n=U_n-0{,}5$.
   1. Démontrer que $(W_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. 0,75 pt
   2. En déduire les expressions de $W_n$ et de $U_n$ en fonction de $n$. 1 pt
3. Calculer les limites de $W_n$ et $U_n$ puis conclure. 0,75 pt
4. On pose $S_n=\sum_{k=0}^{n} W_k = W_1+W_2+\cdots+W_n$. Exprimer $S_n$ en fonction de $n$ puis en déduire sa limite. 0,75 pt

Exercice 2 6 pts

Soit $f$ la fonction de la variable réelle $x$ définie par : $f(x)=\dfrac{x^2-4x+7}{x-1}$. On note $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O;\vec i;\vec j)$.

1. Calculer les limites de $f$ aux bornes de $D_f$. 1 pt
2. Étudier les variations de $f$ et dresser son tableau de variation. 1 pt
3. 1. Déterminer trois réels $a$, $b$ et $c$ tels que, pour tout $x\in D_f$ : $f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x-1}$. 0,75 pt
   2. En déduire, en justifiant, que la courbe $(C)$ admet une asymptote oblique $(D')$ dont on précisera l’équation cartésienne. Étudier les positions relatives de $(D')$ et $(C)$. 0,75 pt
4. Montrer que le point $\Omega(1;-2)$ est centre de symétrie de la courbe $(C)$. 0,5 pt
5. Construire $(C)$ ainsi que ses asymptotes dans le même repère du plan. 1 pt

Exercice 3 4 pts

1. On considère : $P(x)=\cos 4x-5\cos 2x-6$, avec $x\in]-\pi;\pi[$.
   1. Exprimer $P(x)$ en fonction de $\cos 2x$. 0,5 pt
   2. Résoudre dans $]-\pi;\pi[$ l’équation : $2\cos^2(2x)-5\cos(2x)-7=0$. 1 pt
2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation : $A^2=42A$. 0,75 pt
3. Résoudre dans $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ le système :

   $ \begin{cases} C_{x+1}^y = C_x^{y-1}\\ C_{x+y}^2 = 10 \end{cases} $

   1 pt
4. Un sac contient $5$ boules blanches, $4$ boules rouges et $7$ boules noires, toutes indiscernables au toucher.

1. On tire successivement avec remise $4$ boules du sac.
   1. Déterminer le nombre de tirages possibles. 0,25 pt
   2. Déterminer le nombre de tirages comportant exactement une boule blanche, deux boules rouges et une boule noire. 0,25 pt
2. On tire simultanément $4$ boules du sac.
   1. Déterminer le nombre de tirages possibles. 0,25 pt
   2. Déterminer le nombre de tirages possibles ne comportant pas de boule noire et ayant au plus $2$ boules rouges. 0,25 pt

Exercice 4 2,5 pts

$ABC$ est un triangle rectangle tel que $AB=5\,\text{cm}$. On désigne par $I$ le milieu du segment $[AB]$. Les points $J$ et $L$ sont définis par : $\overrightarrow{AJ}=\dfrac52\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AL}=3\overrightarrow{AC}$.

La droite parallèle à $(AC)$ menée par $J$ coupe la droite $(BC)$ en $K$.

1. Exprimer $B$ comme barycentre des points $A$ et $I$, puis $C$ comme barycentre des points $A$ et $L$. 1 pt
2. Démontrer que $K$ est le barycentre des points pondérés $B$ et $C$ affectés des coefficients à préciser. 0,5 pt
3. Démontrer que les points $I$, $K$ et $L$ sont alignés. 0,25 pt
4. Donner la nature et les éléments caractéristiques de l’ensemble $(\Sigma)$ des points $M$ du plan tels que : $MA^2+MB^2=25$. 0,75 pt

B – Évaluation des compétences 4 pts

Monsieur Paul est un ingénieur. Pour créer son entreprise de fabrication d’emballage ménager en janvier $2006$, il emprunte $75$ millions FCFA dans une banque $A$ à un taux annuel de $x\%$. L’ingénieur doit rembourser à la banque $87{,}45$ millions FCFA au bout de deux ans.

L’entreprise n’écoule que $80\%$ de sa production annuelle. Le bénéfice annuel réalisé est égal à $2m^2-13m$ où $m$ est la masse d’emballage ménager vendue (en tonnes). Monsieur Paul aimerait réaliser un bénéfice de $30$ millions FCFA en janvier $2007$.

Pour la protection de l’environnement, l’ingénieur décide de recycler ses produits à partir de février $2007$. Les $\dfrac34$ des emballages ménagers utilisés sont recyclés par l’entreprise de Paul. En fin $2007$, il a pu recycler $12$ tonnes d’emballages ménagers.

Tâches

1. Déterminer le taux annuel du prêt de monsieur Paul. 1,5 pt
2. Quelle masse d’emballage ménager doit produire l’ingénieur pour réaliser un bénéfice de $30$ millions FCFA en janvier $2007$ ? 1,5 pt
3. Calculer la masse d’emballage ménager produite en $2007$. 1,5 pt