Composition de maths 3e séquence 1ère D

PARTIE A : ÉVALUATION DES RESSOURCES 15,5 points

Exercice 1 : ÉQUATION DANS $\mathbb{R}$ 03,5 points

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation : $x^2+102x-535=0$. 1 pt
2. On place une somme de 200 000 Frs à un taux annuel de $x\%$. Après un an, on retire le capital placé et les intérêts qu’il a produits pour replacer le tout à un taux annuel de $(x+2)\%$. L’intérêt produit au cours de cette deuxième année est alors de 14 700 Frs.
   1. Montrer que $x$ est solution de l’équation : $x^2+102x-535=0$. 2 pts
   2. En déduire alors la valeur de $x$. 0,5 pt

Exercice 2 : GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS 04 points

Soit $f$ la fonction de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$ définie par : $f(x)=\dfrac{2}{x}$. On désigne par $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j})$.

1. 1. Donner l’ensemble de définition de la fonction $f$. 0,25 pt
   2. Quelle est la parité de $f$ ? 0,25 pt
   3. Représenter soigneusement l’hyperbole $(C)$. 0,75 pt
2. On considère la fonction $g$ de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$ définie par : $g(x)=\dfrac{3x+1}{x+1}$. On désigne par $(C')$ la courbe de la fonction $g$.
   1. Démontrer que le point $A(-1;3)$ est un centre de symétrie pour la courbe $(C')$. 0,5 pt
   2. Déterminer deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels que, pour tout $x\ne -1$, $g(x)=\dfrac{\alpha}{x+1}+\beta$. 0,5 pt
   3. Expliquer comment obtenir la courbe $(C')$ à partir de la courbe $(C)$. 0,25 pt
   4. Construire soigneusement dans le même graphique $(C)$ et $(C')$. 0,75 pt
3. Démontrer que $g$ réalise une bijection de $\mathbb{R}\setminus\{-1\}$ vers $\mathbb{R}\setminus\{3\}$ puis déterminer clairement $g^{-1}$. 0,75 pt

Exercice 3 : TRIGONOMÉTRIE ET CERCLE DU PLAN 04 points

Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j})$.

1. Résoudre dans $]-\pi;\pi]$ l’équation : $2\cos t-2\sin t=2$. 1,5 pts
2. On considère l’ensemble $(C)$ des points $M$ de coordonnées $(x;y)$ tels que :

   $\begin{cases} x=2\cos t-2\\ y=2\sin t \end{cases} \quad \text{où } t \text{ est un nombre réel.}$

   1. Donner la nature de $(C)$ et ses éléments caractéristiques. 0,75 pt
   2. Donner une équation cartésienne de $(C)$. 0,5 pt
   3. Déterminer l’ensemble des points $M(x;y)$ appartenant à la fois à $(C)$ et à la droite $(D)$ d’équation cartésienne $y=x$. 0,75 pt
   4. La droite $(D)$ est-elle tangente à $(C)$ ? Justifier la réponse. 0,5 pt

Exercice 4 — LIMITES ET CONTINUITÉ 04 points

1. Soit $f$ la fonction définie par : $f(x)=\dfrac{x^2+1}{x^2-1}$.

   Déterminer le domaine de définition de $f$ ainsi que les limites aux bornes de $D_f$.

   2 pts
2. Démontrer que l’équation $3x^4-8x^3+6x^2-3=0$ admet au moins une solution dans l’intervalle $[0;2]$. 1 pt
3. Soit la fonction $g(x)=\dfrac{\sqrt{x+1}-3}{x-8}$ et $x_0=8$. Calculer la limite de $g$ en $x_0$ et préciser si $g$ admet en $x_0$ un prolongement par continuité. 1 pt

PARTIE B : ÉVALUATION DES COMPÉTENCES 04,5 points

M. Aladji Bouba est un grand éleveur dans la région de l’Adamaoua ; il possède une grande réserve qu’il a séparée en trois parties comme l’indiquent les figures ci-dessous.

Sur la parcelle 1 ayant la forme d’un carré $(ABCD)$ il élève de la volaille, sur la parcelle 2 ayant la forme d’un cercle il élève des chèvres et sur la parcelle 3 ayant la forme d’un triangle rectangle $PQN$ il élève des moutons. Il aimerait entourer chacune de ses parcelles de fils de fer électriques qui coûtent 1000 Frs le mètre.

La parcelle 1 est telle que le cercle $(C)$ est le cercle trigonométrique et les points $A$, $B$, $C$ et $D$ sont les points images des solutions dans $]-\pi;\pi]$ de l’équation trigonométrique : $4\cos^2 x-1=0$ (on prendra $100\,\text{m}=1$ unité).

La parcelle 2 représente un cercle où la droite $(LK)$ est axe de symétrie de ce cercle tel que tout point $M$ de ce cercle vérifie : $ML^2-4MK^2=0$ avec $LK=15\,\text{m}$.

La parcelle 3 a la forme d’un triangle rectangle dont l’hypoténuse mesure $72{,}5\,\text{m}$ et dont l’aire est de $429\,\text{m}^2$.

Combien dépensera Aladji Bouba pour l’achat de fils de fer électrique nécessaire pour :

1. Tâche 1 : entourer la parcelle 1. 1,5 pt
2. Tâche 2 : entourer la parcelle 2. 1,5 pt
3. Tâche 3 : entourer la parcelle 3. 1,5 pt