Composition de maths 1ère séquence 1ère D

ÉVALUATION DES RESSOURCES (15,5 points)

Exercice 1 (05,5 points)

1. Calculer $(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2$.
2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation : $4x^2 + 2(\sqrt{3}+\sqrt{2})x + \sqrt{6} = 0$.
3. En déduire dans $\mathbb{R}$ puis dans $[0;2\pi]$ les solutions de l’équation : $(E)\;:\;-4\sin^2 x + 2(\sqrt{3}+\sqrt{2})\cos x + \sqrt{6} + 4 = 0$.
4. En déduire dans $[0;2\pi]$ l’inéquation : $(I)\;:\;-4\sin^2 x + 2(\sqrt{3}+\sqrt{2})\cos x + \sqrt{6} + 4 > 0$.
5. 1. Placer les images des solutions de $(E)$ sur le cercle trigonométrique (Unité : 3 cm sur les axes).
   2. Quelle est la nature du polygone obtenu ?
   3. Calculer la valeur exacte de l’aire de ce polygone.

Exercice 2 (05 points)

L’unité de longueur est le centimètre. $ABC$ est un triangle tel que $AB = AC = 5$ et $BC = 6$. $I$ est le milieu de $[BC]$ et $G$ le centre de gravité du triangle $ABC$.

1. 1. Faire une figure.
   2. Démontrer que $G$ est le barycentre des points pondérés $(A;1)$ et $(I;2)$.
2. 1. Calculer les longueurs $AI$, $GA$ et $GI$.
   2. Démontrer que pour tout point $M$ du plan : $MA^2 + 2MI^2 = 3MG^2 + \dfrac{32}{3}$.
   3. Déterminer l’ensemble $(E)$ des points $M$ du plan tels que : $MA^2 + 2MI^2 = 32$.
3. Soit $(F)$ l’ensemble des points $M$ du plan tels que : $\vec{MA}\cdot\vec{MI} - MA^2 = 0$.
   1. Déterminer $(F)$.
   2. Donner la position relative de $(E)$ et $(F)$.

Exercice 3 (05 points)

La courbe ci-dessous est celle d’une fonction dans un repère orthonormé $(O,I,J)$ du plan.

1. On suppose que $f(x)=\dfrac{a}{x}$, où $a$ est un réel. Déterminer la valeur de $a$.
2. La courbe d’une fonction $g$ se déduit de celle de $f$ par une translation de vecteur $\vec{u}=2\vec{i}+\vec{j}$. Tracer la courbe de $g$ dans le même repère que celle de $f$.
3. Montrer que $g(x)=\dfrac{x-3}{x-2}$.
4. Montrer que $g$ est une bijection de $\mathbb{R}\setminus\{2\}$ sur $\mathbb{R}\setminus\{1\}$.
5. Déterminer la fonction réciproque $g^{-1}$ de $g$.
6. Tracer la courbe de cette réciproque.
7. Montrer que le point $\Omega(2,1)$ est centre de symétrie de la courbe de $g$.
8. Dresser le tableau de variation de $f$ sur son ensemble de définition.

ÉVALUATION DES COMPÉTENCES (04,5 points)

M. Ambroise a acheté un terrain triangulaire en bordure d’une grande route entre les mains de son ami M. MAMAI SIDDI qui voulait le vendre à 600 000 FCFA mais n’a pas pu avoir un preneur à cause de son prix tellement cher, mais a été finalement vendu à 486 000 FCFA après avoir subi deux baisses successives de $t\%$.

M. Ambroise après avoir acheté ce terrain, se propose de construire une maison dont la fondation est rectangulaire (partie hachurée) à l’angle droit de son terrain triangulaire. Il voudrait que l’aire de la surface de sa maison soit la plus grande possible pour avoir une grande maison selon les exigences de sa famille grandiose.

M. Ambroise voudrait aussi couvrir sa cour (partie non hachurée) par des pavés carrés de côté 20 cm. $a$ et $x$ sont les dimensions de cette fondation rectangulaire telle que : $a = 30 - \dfrac{3}{5}x$.

Tâches

1. Calculer les différents taux de baisses subies par le terrain. 1,5 pt
2. Déterminer l’aire maximale de la surface de la fondation de cette maison. 1,5 pt
3. Combien de pavés doit-il prévoir au minimum pour paver sa cour ? 1,5 pt