1ère D : examen blanc en maths

PARTIE A : Évaluation des ressources 15 points

Exercice 1 4 points

L’unité des longueurs est le centimètre.
$ABCD$ est un rectangle de centre $O$, de dimension $AB=6$ et $BC=8$.
$G$ est le centre de gravité du triangle $ABC$ et $I$ le milieu de $[AB]$.

1. Faire une figure. (1 pt)
2. Soit $h$ une application du plan dans lui-même transformant chaque point $M$ en un point $M'$ tel que $\overrightarrow{MM'}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}$.
   1. Démontrer que $h$ est une homothétie de centre $G$ et de rapport $-2$. (0,75 pt)
   2. Quelle est l’image du point $B$ par l’homothétie $h$ ? (0,5 pt)
3. Soit $(\Sigma)$ le lieu des points $M$ du plan tels que $MA^2-MB^2=36$.
   1. Démontrer que le point $C$ appartient à $(\Sigma)$. (0,5 pt)
   2. Démontrer que $(\Sigma)$ est une droite qu’on déterminera et qu’on représentera. (0,75 pt)
   3. Déterminer et représenter l’image $(\Sigma')$ de $(\Sigma)$ par l’homothétie $h$. (0,5 pt)

Exercice 2 5 points

On considère la fonction numérique $f$ à variable réelle définie par l’expression : $f(x)=\dfrac{2x+1}{1-x}$.

Le plan est rapporté au repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j})$. $(C_f)$ est la courbe de $f$.

1. a) Justifier que l’ensemble $D_f$ de définition de $f$ est $]-\infty;1[\cup]1;+\infty[$. Calculer les limites de $f$ aux bornes de cet ensemble. (1,25 pt)
2. b) Déterminer les équations des deux asymptotes à la courbe $(C_f)$. (0,5 pt)
3. Démontrer que le point $\Omega\left(\dfrac{1}{2};-3\right)$ est un centre de symétrie à la courbe $(C_f)$. (0,5 pt)
4. Déterminer pour $x\neq1$, $f'(x)$ et dresser le tableau de variation de $f$. (1 pt)
5. Tracer avec soin la courbe $(C_f)$. On placera le point d’intersection de $(C_f)$ avec l’axe des abscisses. (1,25 pt)
6. On pose pour $x$ appartenant à $D_f$, $g(x)=\dfrac{|2x+1|}{1-x}$. Représenter la courbe $(C_g)$ de $g$. (0,5 pt)

Exercice 3 3 points

Une suite $(U_n)$ vérifie l’égalité $U_{n+1}=2U_n-2n+1$ pour $n$ appartenant à $\mathbb{N}$, avec $U_0=1$.

1. Calculer $U_1$, $U_2$, $U_3$ et conjecturer la valeur de $U_{100}$. (1,25 pt)
2. Soit $k$ appartenant à $\mathbb{N}$.
   Démontrer que si $U_k=2k+1$, alors on a $U_{k+1}=2(k+1)+1$. (0,75 pt)
3. On admet que $(U_n)$ est une suite arithmétique. Calculer la somme $U_0+U_1+U_2+\cdots+U_n$ en fonction de $n$ uniquement. (1 pt)

Exercice 4 3 points

Un mois après le déclenchement de l’épidémie de COVID-19, un pays a dressé le tableau statistique des personnes infectées suivant des tranches d’âges (en années) dans le tableau statistique suivant :

1. Déterminer l’âge moyen des individus touchés par cette épidémie. 0,5pt
2. Construire la courbe des effectifs cumulés croissants aussi appelée polygone des effectifs cumulés croissants. 1,5pt
3. Déterminer l’âge médian des personnes infectées au sein de la population. 0,5pt
4. Un groupe de deux individus avait été choisi parmi les individus de la tranche d’âges $[20 ; 40[$ pour un traitement expérimental. De combien de façons pouvait-on effectuer un tel choix ? 0,5pt

PARTIE B : Évaluation des compétences 5 points

Situation :

ABOU habite la localité d’Edéa en bordure du fleuve Sanaga. Il a une vieille pirogue à moteur qui lui permet de se déplacer sur la Sanaga. Afin de ménager son moteur ou sa vieille boîte de vitesse, il se déplace chaque fois à vitesse constante pour tout déplacement de plus de 5 km à bord de cette pirogue. Pour un déplacement à vitesse constante $v$ pendant chaque heure, la consommation de carburant en litres de cette pirogue est : $c=0,4+0,001v^2$.

Dans un village riverain de la Sanaga et situé à 40 km d’Edéa par voie fluviale, ABOU avait acheter un champ. Il voulait sécuriser ce champ en l’entourant de grillage. À bord de sa pirogue et à vitesse constante $v$, ABOU et son fils ABDEL s’étaient rendus dans ce champ afin de déterminer la longueur du grillage nécessaire pour cette sécurisation. Arrivé au champ, ABDEL a constaté que le champ a la forme d’un triangle $ABC$ avec $AB=300$ m et $AC=400$ m.

N’ayant pas eu le temps pour mesurer le côté $[BC]$, ABDEL a mesuré l’angle en $A$ de ce triangle afin de déterminer par son père perplexe, la valeur exacte de $BC$ une fois de retour à Edéa (Voir figure ci-contre).

Pour le retour à Edéa, ABDEL demanda à son père de diminuer sa vitesse de l’aller de $5$ km/h et cette diminution leur a permis de réduire la consommation de carburant de l’aller de $4$ cl.

Tâches :

1. Déterminer la vitesse qu’ABOU aurait dû adopter d’Edéa au champ, pour avoir une consommation minimale de carburant à l’aller. 1,5pt
2. Déterminer la vitesse de la pirogue qu’avait adoptée ABOU à l’aller. 1,5pt
3. Déterminer, en mètres, la longueur exacte du grillage nécessaire pour entourer complètement le champ. 1,5pt

Présentation : 0,5pt

EXERCICE I 3,75 pts

Une association a réparti ses membres par tranches d’âge suivant le tableau ci-après :

1. Donner les classes de cette série statistique. 0,5pt
2. a) Compléter le tableau et construire le polygone des effectifs cumulés croissants de cette série. 1pt
   
   b) Déduire graphiquement ainsi construite une valeur approchée de la médiane. 0,5pt
3. Cette association doit élire son bureau comprenant un président, un secrétaire, un trésorier, un commissaire aux comptes et un censeur (il n’y a pas cumul de poste). Combien de bureaux peuvent-ils former sachant que leur statut stipule que le président et le trésorier doivent avoir au moins 30 ans. 0,75pt
4. Cette association doit envoyer une délégation de 8 personnes ayant au moins 2 membres du bureau la représenter à un congrès. Combien de délégations sont susceptibles de représenter cette association ? 1pt

EXERCICE II 3,75 pts

1. Montrer que $(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2=5+2\sqrt{6}$. 0,25pt
2. On considère l’équation $(E)$ : $4\sin^2x+2(\sqrt{2}-\sqrt{3})\sin x-\sqrt{6}=0$.
   1. Résoudre dans $[0;2\pi[$ l’équation $(E)$. 1,75pt
   2. Placer les images des solutions sur le cercle trigonométrique. Unité : $3$ cm. 0,75pt
   3. Quelle est la nature exacte du polygone obtenu ? 0,25pt
   4. Calculer la valeur exacte de l’aire de ce polygone. 0,5pt

PROBLÈME 12,5 pts

Le problème comporte trois parties indépendantes.

PARTIE A

On donne deux points $A$ et $B$ du plan tels que $AB=5$ cm. Soit $I$ le milieu de $[AB]$, $G$ est le barycentre du système $\{(A,1),(B,2)\}$ et $H$ est le barycentre du système $\{(A,2),(B,1)\}$.

1. Construire les points $G$ et $H$. 1pt
2. Démontrer que $G$ et $H$ sont symétriques par rapport à $I$. 0,75pt
3. Soit $(F)$ l’ensemble des points $M$ du plan tel que $(\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB})\cdot(2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}) =\dfrac{299}{4}$.
   1. Déterminer deux réels $x$ et $y$ tels que pour tout point $M$ du plan, on ait : $\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}=x\overrightarrow{MG}$ et $2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=y\overrightarrow{MH}$. 0,5pt
   2. Montrer que pour tout point $M$ du plan, on a : $\overrightarrow{MG}\cdot\overrightarrow{MH}=MI^2-\dfrac{25}{36}$. 1pt
   3. Déduire des questions précédentes la nature de $(F)$. Construire $(F)$. 1pt

PARTIE B

Soit $(U_n)$ la suite définie par $U_0=2$ et pour tout $n\in\mathbb{N}$, $U_{n+1}=-1+2U_n$.

Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O,I,J)$.

1. Sans faire de calculs, représenter les trois premiers termes de cette suite sur l’axe des abscisses. Conjecturer le sens de variation de cette suite. 1pt
2. Soit $(V_n)$ la suite définie par $V_n=-1+U_n$.
   1. Exprimer $V_{n+1}$ en fonction de $V_n$ et en déduire la nature des éléments caractéristiques de $(V_n)$. 1pt
   2. Exprimer $V_n$ puis $U_n$ en fonction de $n$. 0,5pt
   3. Déterminer la limite de la suite $(U_n)$. 0,25pt
3. On pose $S_n=V_0+V_1+V_2+\cdots+V_n$. Exprimer $S_n$ en fonction de $n$. 0,75pt

PARTIE C

Le tableau suivant est le tableau de variation d’une fonction $f$.

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations suivantes : $f'(x)<0$ ; $f'(x)=0$ et $f(x)>0$. 0,75pt
2. Déterminer les équations des tangentes à $(C_f)$ aux points d’abscisses $-1$ et $3$. 0,5pt
3. On suppose que $f(x)=\dfrac{ax^2+bx+4}{2(x-c)}$.
   1. Montrer que $c=1$. 0,25pt
   2. Déterminer en utilisant les informations du tableau les réels $a$ et $b$. 1pt
4. On suppose que $f(x)=\dfrac{x^2-x+4}{2(x-1)}$.
   1. Montrer que la droite d’équation $y=\dfrac{1}{2}x$ est asymptote à la courbe $(C_f)$. 0,5pt
   2. Déterminer l’autre asymptote à $(C_f)$. 0,25pt
5. Construire dans un repère la courbe $(C_f)$. 1pt
6. Soit $m$ un paramètre réel. Discuter graphiquement suivant les valeurs de $m$ le nombre et le signe des solutions de l’équation $x^2-(2m+1)x+4+2m=0$. 1pt

PARTIE A : ÉVALUATION DES RESSOURCES 15,5 pts

Exercice 1 3 pts

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation : $(E)\; 12x^2+3600x-37200=0$. 0,75pt
2. Madame FOKOU doit rembourser une somme de 397200F en trois tranches. Le premier versement est de 120000F ; chacun des versements suivants correspond au versement précédent augmenté de $t\%$.
   1. Montrer que $t$ vérifie l’équation $(E)$ et calculer $t$. 1,5pt
   2. En déduire chacun des montants des différents versements. 0,75pt

Exercice 2 2,75 pts

Le plan est muni d’un repère $(O;I,J)$. On considère le cercle $(C)$ d’équation : $x^2+y^2+2x+4y-4=0$.

1. Déterminer les coordonnées de son centre $A$. 0,75pt
2. Soit $(D)$ la droite d’équation cartésienne $x-y+2=0$, trouver les coordonnées des points d’intersection de $(C)$ et $(D)$. 1pt
3. Soit $B(-1;1)$. Vérifier que $B$ appartient à $(C)$ et trouver une équation cartésienne de la droite $(T)$ tangente à $(C)$ en $B$. 1pt

Exercice 3 3,25 pts

Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j})$. Soient $A(1;-4)$, $B(9;-4)$ et $C(1;2)$ trois points du plan. Soit $I$ le milieu du segment $[BC]$ et $G$ l’isobarycentre des points $A$, $B$ et $C$.

1. 1. Calculer les coordonnées de $G$. 0,5pt
   2. Que représente $G$ pour le triangle $ABC$ ? 0,25pt
   3. Calculer les distances $AB$, $AC$ et $BC$. En déduire que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. 1pt
2. 1. Déterminer et construire l’ensemble $\mathcal{E}$ des points $M$ du plan tels que $MB^2+MC^2=100$. 0,5pt
   2. En déduire une représentation paramétrique de $\mathcal{E}$. 0,5pt

Exercice 4 6,5 pts

1. En remarquant que $\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}$, calculer les valeurs exactes de $\cos\dfrac{\pi}{12}$ et $\sin\dfrac{\pi}{12}$. 1pt
2. Démontrer que pour tout nombre réel $x$, $\cos3x=4\cos^3x-3\cos x$. 1pt
3. $(E)$ est l’équation $4\cos^3x-3\cos x=\dfrac{1}{2}$. Résoudre dans $]-\pi;\pi]$ l’équation $(E)$ et représenter les solutions sur le cercle trigonométrique. 2pts
4. Résoudre dans $]-\pi;\pi]$ l’inéquation $\cos(3x)\geq\dfrac{1}{2}$. 1pt
5. Résoudre dans $]-\pi;\pi]$ l’équation $2\cos^2(3x)+3\cos(3x)-2=0$. 1,5pt

Exercice 5 3,5 pts

1. Déterminer la mesure principale de $-\dfrac{89\pi}{12}$. 1pt
2. En remarquant que $\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}$, calculer les valeurs exactes de $\cos\dfrac{7\pi}{12}$ et $\sin\dfrac{7\pi}{12}$. 0,75pt
3. Pour tout réel $x\in\left]-\dfrac{\pi}{2};0\right[$, déterminer $\sin x$ sachant que $\cos x=\dfrac{1}{3}$. 0,75pt
4. Démontrer que pour tout réel $x$, $\cos^2x=\dfrac{1+\cos2x}{2}$. 0,75pt

Exercice 6 3 pts

Le plan est muni du repère orthonormé $(O;I,J)$.
$ABCD$ est un carré. On donne, en centimètres, $AB=4$. On considère l’homothétie $h$ de centre $A$ et de rapport $1{,}5$. $B'$, $C'$ et $D'$ désignent les images respectives des points $B$, $C$ et $D$ par $h$.

1. Construire les points $B'$, $C'$ et $D'$. 1pt
2. On donne $A(-2;3)$ et $B(1;-1)$ ; déterminer les coordonnées de $E$, image de $B$ par la symétrie centrale de centre $A$. 1pt
3. Soient $M(x;y)$ et $M'(x';y')$. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation $f$ telle que $f(M)=M'$ par :
   $x'=x-3$
   $y'=y+1$ 1pt

PARTIE B : ÉVALUATION DES COMPÉTENCES 4,5 pts

Madame TALLA a placé dans une banque pendant deux ans la somme de $70\,000$ FCFA à un taux annuel $x\%$ à intérêts composés (c’est-à-dire à la fin de chaque année, les intérêts produits s’ajoutent au capital pour former le nouveau capital).

Au bout de deux années, elle retire $79\,394$ FCFA. Après retrait de cet argent, elle voudrait partager équitablement la somme de $39\,200$ FCFA en un certain nombre d’enfants l’ayant aidée pour effectuer certains travaux. Quelque instants après, deux enfants s’ajoutent et la part de chaque enfant diminue donc de $2\,240$ FCFA.

Son mari, monsieur TALLA, vient d’acheter un terrain rectangulaire de périmètre $82$ mètres et d’aire $6\,400$ mètres carrés.

1. Déterminer les dimensions du terrain de monsieur TALLA. 1,5pt
2. Déterminer le taux annuel $x$ du placement de madame TALLA. 1,5pt
3. Déterminer le nombre initial d’enfants à qui madame TALLA devrait partager l’argent. 1,5pt

Exercice 1 (04 points)

1. Résoudre dans $\mathbb{R}^3$ le système suivant $(S)$ :
   $\begin{cases} x+y-2z=10\\ -x+y+z=16\\ x-y+z=4 \end{cases}$ 1,5pt
2. Un certain nombre d’oiseaux sont perchés sur trois fils $A$, $B$ et $C$. Si 10 oiseaux quittent les fils $A$ et $B$ pour s’envoler, alors les trois fils auront le même nombre d’oiseaux. Si 8 oiseaux quittent les fils $B$ et $C$ pour le fil $A$, alors le fil $A$ aura autant d’oiseaux que les deux fils $B$ et $C$ réunis. Si 2 oiseaux quittent les fils $A$ et $C$ pour le fil $B$, alors le fil $B$ aura autant d’oiseaux que les deux fils $A$ et $C$ réunis.
   1. Soit $x$, $y$ et $z$ le nombre d’oiseaux perchés respectivement sur les fils $A$, $B$ et $C$. Montrer que $x$, $y$ et $z$ vérifient le système $(S)$. 1,5pt
   2. Calculer le nombre d’oiseaux perchés sur chaque fil ainsi que le nombre total d’oiseaux au départ. 1pt

Exercice 2 (03,5 points)

Le professeur de mathématiques d’une classe de 1^ère D a représenté les notes d’un contrôle par le tableau suivant :

1. Les élèves de cette classe se proposent de désigner un comité de 6 personnes. Quel est le nombre de bureaux possible ? 0,5pt
2. De combien de façons possible peut-on constituer un comité comprenant :
   1. Des élèves qui ont obtenu au moins la note $10/20$ au contrôle ? 0,5pt
   2. Des élèves qui ont obtenu au plus la note $10/20$ au contrôle ? 0,5pt
   3. Des élèves qui ont obtenu une note comprise entre $8/20$ et $16/20$ au contrôle ? 0,5pt
   4. Des élèves qui ont obtenu une note de $08/20$ et de $14/20$ ? 0,5pt
   5. Des élèves qui ont obtenu une note entre $02/20$ et $14/20$ ? 0,5pt
3. Le professeur doit exclure de son cours tous les élèves ayant une note inférieure ou égale à $6$. De combien de façons possible peut-on constituer un comité comprenant uniquement les élèves exclus ? 0,5pt

Problème (12,5 points)

La partie A du problème est indépendante des parties B et C qui sont liées.

Partie A (05,5 points)

Ambroise a reçu un héritage de $200\,000$ FCFA. Il décide alors de placer cette somme à la banque en lui proposant un placement au taux annuel de $6\%$. Mais chaque année, la banque lui coupe $9\,000$ FCFA pour l’entretien de son compte. On appelle $C_n$ le capital acquis au bout de $n$ années de placement.

1. Montrer que $(C_n)$ vérifie la relation de récurrence : $C_{n+1}=1{,}06\,C_n-9000$. 0,75pt
2. Calculer $C_1$, $C_2$ et $C_3$. La suite $(C_n)$ ainsi obtenue est-elle arithmétique ? Est-elle géométrique ? Justifier votre réponse. 1pt
3. On définit la suite auxiliaire $(u_n)$ par $u_n=C_n-150\,000$.
   1. Montrer que $(u_n)$ est une suite géométrique dont on caractérisera la raison. 0,75pt
   2. Exprimer $u_n$ puis $C_n$ en fonction de $n$. 0,75pt
   3. De quelle somme Ambroise disposera-t-il au bout de $5$ ans ? 0,5pt
   4. Ambroise veut acheter un congélateur qui coûte $280\,000$ FCFA. Combien d’années doit-il attendre avant de disposer de cette somme ? 0,75pt

Partie B (01,75 points)

Dans le repère ci-dessous, on a représenté la courbe $(C_g)$ d’une fonction $g$ et la droite $(D)$ représentant la fonction affine $f$.

1. Déterminer graphiquement l’ensemble de définition de la fonction $g$. 0,25pt
2. Déterminer l’ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles on a :
   1. $g(x)=0$. 0,5pt
   2. $g(x)-f(x)\leq0$. 0,5pt
3. Étudier la position relative de $(C_g)$ par rapport à la droite $(D)$. 0,5pt
4. Montrer que l’expression de la fonction affine représentée par la droite $(D)$ est $f(x)=3x$. 0,5pt

Partie C (05,75 points)

1. Déterminer l’ensemble de définition $D_h$ de la fonction $h$ définie par $h(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$. 0,5pt
2. On suppose que $g(x)=ax^3+bx^2+cx$ où $a$, $b$ et $c$ sont des nombres réels. Sachant que la courbe $(C_g)$ passe par les points $(-2;-6)$, $B(-1;0)$ et $C\left(\dfrac12;-\dfrac38\right)$, montrer que les nombres $a$, $b$ et $c$ vérifient le système $(S)$ :
   $\begin{cases} a-b+c=0\\ 4a+2b+4c=-3\\ 4a-2b+c=3 \end{cases}$ 0,75pt
3. Résoudre dans $\mathbb{R}^3$ le système $(S)$. 1,25pt
4. 1. Vérifier alors que $h(x)=\dfrac{3}{x^2-1}$. 0,5pt
   2. Déterminer les limites de $h$ aux bornes de $D_h$. 1,5pt
   3. Donner le sens de variation de $h$. 0,75pt
   4. Dresser le tableau de variation de $h$. 0,75pt
5. Tracer la courbe $(C_h)$ de $h$ dans le plan muni d’un repère orthonormé $(O,I,J)$. 0,75pt