D’abord, le PROBATOIRE C 2019 te guide pour réviser efficacement sur Ndolomath. Ensuite, le PROBATOIRE C 2019 t’entraîne avec des questions variées et un barème clair. Puis, le PROBATOIRE C 2019 correspond à cette définition de l’examen. Enfin, le PROBATOIRE C 2019 t’aide à gagner en méthode et en confiance.
L’épreuve de mathématiques du PROBATOIRE C 2019
Exercice 13,5 points
1. a) Exprimer $\cos(2\alpha)$ en fonction de $\cos(\alpha)$, puis en fonction de $\sin(\alpha)$. 0,5 pt
b) Sachant que $\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{2\pi}{8}$, en déduire les valeurs exactes de $\cos\left(\dfrac{\pi}{8}\right)$ et $\sin\left(\dfrac{\pi}{8}\right)$. 0,5 pt
c) En déduire les valeurs exactes de $\cos\left(\dfrac{5\pi}{8}\right)$ et $\sin\left(\dfrac{5\pi}{8}\right)$. 0,5 pt
d) Déterminer la valeur exacte du réel $A=\cos\left(\dfrac{9\pi}{8}\right)+\cos\left(\dfrac{7\pi}{8}\right)+\sin\left(\dfrac{5\pi}{8}\right)$. 0,5 pt
2. $ABCDEFGH$ est un octogone régulier de centre $O$. $OA=1$.
On se propose de calculer son aire.
Soit $I$ le milieu de $[AB]$. On pose $\alpha=\text{mes}(AOI)$.
a) Exprimer $OI$ et $AI$ en fonction de $\alpha$. 0,5 pt
b) En déduire que $\text{Aire}(OAB)=\dfrac{1}{2}\sin(2\alpha)$. 0,25 pt
c) Déterminer l’aire de l’octogone $ABCDEFGH$. 0,25 pt
3. Soit $r$ un réel strictement positif. Déterminer, en fonction de $r$, l’aire d’un octogone régulier inscrit dans un cercle de rayon $r$. 0,5 pt
Exercice 23 points
1. Soient $A$ et $B$ deux points du plan tels que $AB=5$. On désigne par $I$ le milieu de $[AB]$.
a) Déterminer l’ensemble $(C)$ des points $M$ du plan tels que $MA^2+MB^2=25$. 0,5 pt
b) Déterminer l’ensemble $(D)$ des points $M$ du plan tels que $MA^2-MB^2=0$. 0,25 pt
2. Le plan est rapporté au repère orthonormé $(O,i,j)$. Unité graphique $1\ \text{cm}$.
On donne les points $A(-3;1)$ et $B(2;1)$.
a) Déterminer une équation du cercle $(\Gamma)$ de diamètre $[AB]$ et tracer $(\Gamma)$. 0,5 pt
b) Vérifier que le point $D(-2;3)$ appartient à $(\Gamma)$ et déterminer une équation de la tangente $(T)$ à $(\Gamma)$ en $D$. 0,75 pt
c) Vérifier que le point $E(2;6)$ est extérieur à $(\Gamma)$. Tracer le cercle $(\Gamma’)$ de diamètre $[EI]$, où $I$ désigne le milieu de $[AB]$. En déduire les coordonnées du point de contact des tangentes à $(\Gamma)$ menées de $E$. 1 pt
Exercice 32,5 points
$P$ et $Q$ sont deux points du plan tels que $PQ=1$. On note $(C)$ le cercle de centre $P$ et de rayon $3$ et $(C’)$ le cercle de centre $Q$ et de rayon $2$. La demi-droite $[PQ)$ coupe le cercle $(C)$ au point $I$.
1. Justifier que le point $I$ appartient aussi à $(C)$. 0,5 pt
2. Déterminer le centre et le rapport de l’homothétie qui transforme $(C)$ en $(C’)$. 1 pt
3. Soient $M$ et $M’$ deux points de $(C)$.
Les droites $(IM)$ et $(MI’)$ coupent $(C)$ en $N$ et $N’$ respectivement.
a) Montrer que les droites $(MM’)$ et $(NN’)$ sont parallèles. 0,5 pt
b) Déterminer la valeur du rapport $\dfrac{NN’}{MM’}$. 0,5 pt
Problème11 points
Le plan est rapporté au repère orthonormé $(O,i,j)$.
Partie A 6,5 points
Dans cette partie, on n’essaiera pas de réduire l’expression de $f(x)$ au même dénominateur, mais on utilisera les propriétés sur la somme de deux fonctions.
Soit $f$ la fonction définie sur $D_f=\mathbb{R}\setminus\{-1;1\}$ par $f(x)=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{x-1}\right)$. On note $(C_f)$ sa courbe représentative.
1. Étudier la parité de la fonction $f$. Que peut-on en déduire pour la courbe $(C_f)$ ? 0,5 pt
2. Calculer les limites de $f$ en $-\infty$, à gauche et à droite en $-1$ et $1$, et en $+\infty$. En déduire les asymptotes à la courbe $(C_f)$. 2 pts
3. Déterminer l’expression de la dérivée $f’$ de la fonction $f$. En déduire le sens de variation de la fonction $f$. 1 pt
4. a) Donner une équation de la tangente $(T)$ à $(C_f)$ au point d’abscisse $0$. 0,25 pt
a) Étudier le signe de $f(x)+x$ sur $D_f$ et donner la position de $(T)$ par rapport à $(C_f)$. 0,75 pt
5. a) Tracer $(T)$ et $(C_f)$. 1 pt
b) Tracer sur le même graphique la courbe $(C_g)$ représentative de la fonction $g$ définie sur $D_f$ par $g(x)=f(x)$. 0,75 pt
c) Discuter graphiquement, suivant les valeurs de $m$, le nombre et le signe des solutions de l’équation $g(x)=m$. 0,75 pt
Partie B 4,5 points
On considère la suite $(u_n)$, à termes positifs, donnée par : $u_0=2$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\dfrac{2u_n-1}{u_n}$.
1. a) Exprimer $u_{n+1}-1$ en fonction de $u_n-1$ et comparer leurs signes. 0,5 pt
b) Quel est le signe de $u_0-1$ ? Que peut-on en déduire ? 0,5 pt
2. a) Exprimer $u_{n+1}-u_n$ en fonction de $u_n$. 0,5 pt
b) En déduire le sens de variation de la suite $(u_n)$. 0,5 pt
3. On pose $v_n=\dfrac{1}{u_n-1}$.
a) Montrer que $(v_n)$ est une suite arithmétique de raison $1$. 0,5 pt
b) Exprimer $v_n$ en fonction de $n$. 0,5 pt
c) En déduire l’expression de $u_n$ en fonction de $n$. 0,5 pt
d) Calculer la limite de la suite $(u_n)$. 0,5 pt
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Épreuve de mathématiques — PROBATOIRE C 2019
Conclusion du PROBATOIRE C 2019
D’abord, le PROBATOIRE C 2019 te rappelle de soigner les calculs et la présentation. Ensuite, Ndolomath t’encourage à vérifier chaque réponse avant de passer. Puis, PROBATOIRE C 2019 te montre l’importance de la méthode, même sur une question simple. Enfin, reste régulier, et tu progresseras sûrement jusqu’au jour de l’examen.
