D’abord, PROBATOIRE C 2018 te montre le niveau attendu, avec le sujet sur Ndolomath. Ensuite, PROBATOIRE C 2018 t’aide à réviser en suivant la définition de l’examen. Puis, PROBATOIRE C 2018 te guide pour gérer ton temps et tes méthodes sur chaque exercice. Enfin, PROBATOIRE C 2018 te permet de t’entraîner sérieusement avant l’épreuve.
L’épreuve de mathématiques du PROBATOIRE C 2018
EXERCICE 1 :3 points
$E$ est un plan vectoriel muni d’une base $B=(\vec{i},\vec{j})$ et $f$ un endomorphisme de $E$ défini tel que : $f(\vec{i})=\vec{i}-2\vec{j}$ et $f(\vec{j})=-\dfrac{1}{2}\vec{i}+\vec{j}$.
1- a) Donner la matrice $M$ de $f$ dans la base $B$. 0,25 pt
b) Soit le vecteur $u=x\vec{i}+y\vec{j}$. Donner l’expression de $f(u)$. 0,5 pt
2- Déterminer le noyau de $f$, noté $Kerf$ et l’image de $f$, notée $Imf$. 1 pt
3- $f$ est-il un automorphisme de $E$ ? 0,25 pt
4- Soient les vecteurs $e_1=\vec{i}+2\vec{j}$ et $e_2=\vec{i}-2\vec{j}$.
a) Montrer que $B’=(e_1,e_2)$ est une base de $E$. 0,5 pt
b) Donner la matrice $M’$ de $f$ dans la base $B’$. 0,5 pt
EXERCICE 2 :3 points
1- Soit un réel $\alpha$ de $]0;\pi[$ et $\Sigma=\cos(\alpha+33\pi)+\sin\!\left(\dfrac{11\pi}{2}+\alpha\right)+\sin\!\left(\alpha-\dfrac{31\pi}{2}\right)+\sin\!\left(\dfrac{3\pi}{2}-\alpha\right)$.
a) Démontrer que $\Sigma=-2\cos\alpha$. 0,75 pt
b) Déterminer les valeurs de $\alpha$ pour lesquelles $\Sigma\leq -1$. 0,75 pt
2- Dans une maison, une somme $S$ est distribuée équitablement tous les matins aux enfants qui vont à l’école et chacun reçoit $400$ francs. Le jour de l’arrivée prochaine de trois autres enfants qui partageront tous les jours la même somme $S$ avec ceux qui sont déjà à la maison, on apprendra cette nouvelle ; l’un des enfants s’écrie : « chacun d’entre nous ne recevra désormais que $250$ francs tous les matins ».
Déterminer le nombre $n$ d’enfants dans la maison, ainsi que la somme $S$ partagée. 1,5 pt
EXERCICE 3 :3 points
Dans le contrôle de l’accroissement d’une espèce de plante, un ingénieur a réparti suivant la taille en $cm$, $34$ hectares de la culture de cette espèce dans le tableau suivant :
$\left[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Classes} & [1;6[ & [6;8[ & [8;11[ & [11;13[ & [13;16[ & [16;21[ \\ \hline \text{Effectifs} & 4 & 9 & 12 & 2 & 6 & 1 \\ \hline \end{array}\right]$
1- Calculer la moyenne de cette série statistique. 0,5 pt
2- Donner l’écart type de cette série. 1 pt
3- Construire l’histogramme de cette série statistique sachant que la classe $[1;6[$ est représentée par un rectangle de base $5\ cm$ et de hauteur $8\ mm$. 1,5 pt
NB : On donnera les troncatures d’ordre $2$.
PROBLEME :11 points
On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{2x^2+1}{2x+7}$ ; soit $(C_f)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal $(O,\vec{i},\vec{j})$.
PARTIE A6 points
1- a) Déterminer l’ensemble de définition $D_f$ de $f$. 0,5 pt
b) Calculer $f(-8)$, $f\!\left(-\dfrac{7}{2}\right)$, $f(-5)$ ; $f\!\left(-\dfrac{3}{2}\right)$. 1 pt
c) Etudier les limites de $f$ aux bornes de $D_f$. 0,5 pt
d) Déterminer la dérivée $f’$ de $f$. 0,5 pt
e) Dresser le tableau de variation de $f$. 0,5 pt
2- a) Déterminer les coordonnées des points d’intersection de $(C_f)$ avec l’axe des abscisses. 0,5 pt
b) Déterminer les nombres réels $a$, $b$ et $c$ tels que $f(x)=ax+b+\dfrac{c}{2x+7}$. 0,75 pt
c) Montrer que le point $I\!\left(-\dfrac{7}{2};1\right)$ est centre de symétrie de $(C_f)$. 0,5 pt
d) Construire soigneusement $(C_f)$ dans le repère $(O,\vec{i},\vec{j})$, unité graphique : $1cm$. 0,75 pt
3- Construire sur le même graphique, la courbe $(C_g)$ de la fonction $g$ définie par $g(x)=|f(x)|$. 0,5 pt
PARTIE B5 points
Soit $J$ un point du plan euclidien orienté $P$, $C(J,r)$ le cercle de centre $J$ et de rayon $r$. On considère le carré $ABCD$ inscrit dans le cercle $C(J,r)$ tel qu’une mesure en radian de l’angle orienté $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})$ est $\dfrac{\pi}{2}$. Un point $M$ du plan a pour image $M_1$ par la rotation $R$ de centre $A$ et d’angle $\dfrac{\pi}{2}$, et pour image $M_2$ par la rotation $R’$ de centre $C$ et d’angle $\dfrac{\pi}{2}$.
1- Réaliser une figure soignée. 0,5 pt
2- a) Déterminer une mesure en radian de l’angle $(\overrightarrow{DM_1},\overrightarrow{DM_2})$. 0,5 pt
b) En déduire que $D$ est le milieu du segment $[M_1,M_2]$. 0,5 pt
3- Un point $N$ du plan a pour image $N_1$ par $R$, $N_1$ a pour image $N_2$ par $R’$.
a) Construire l’image de $C$ par $R\circ R’$. 0,5 pt
b) En déduire que $\overrightarrow{NN_2}=2\overrightarrow{BC}$. 0,5 pt
4- On donne $J(-3,-2)$ et $A(0,-2)$ dans le repère $(O,\vec{i},\vec{j})$ orthonormé direct.
a) Calculer $r$. 0,25 pt
b) Déterminer une équation cartésienne de $C(J,r)$ dans le repère $(O,\vec{i},\vec{j})$. 0,25 pt
c) Déterminer les coordonnées des points $B$, $C$ et $D$. 0,75 pt
d) Déterminer une équation de la tangente $(T)$ en $A$ à $C(J,r)$. 0,25 pt
e) Soient $(C’)$ le cercle de diamètre $[AL]$.
i) Donner une équation de $(C’)$ en déterminant son centre $J’$ et son rayon $r’$. 0,5 pt
ii) Vérifier que $(T)$ est tangente à $(C’)$ en $A$. 0,25 pt
iii) En déduire que les points $J$, $A$ et $J’$ sont alignés. 0,25 pt
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Épreuve de mathématiques — PROBATOIRE C 2018
Conclusion du PROBATOIRE C 2018
D’abord, vous avez revu les exercices clés avec une méthode claire et progressive. Ensuite, prenez le temps de relire calmement chaque question avant de calculer. Puis, PROBATOIRE C 2018 vous rappelle d’organiser vos étapes et vos résultats. Enfin, avec Ndolomath, PROBATOIRE C 2018 devient un entraînement rassurant avant le jour J.
