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L’épreuve de mathématiques du PROBATOIRE C 2017
Exercice 13 points
On considère l’équation $(E)$ : $2\sqrt{2}\cos^2 x + (2-\sqrt{2})\cos x – 1 = 0$ et le polynôme $p(x)=2\sqrt{2}\,x^2+(2-\sqrt{2})x-1$ de variable réelle $x$.
1- Calculer $p\!\left(\dfrac{1}{2}\right)$. 0,5 pt
2- Vérifier que le polynôme $p(x)$ admet 2 racines distinctes. 0,5 pt
3- En utilisant la somme ou le produit des racines, déterminer l’autre racine. 0,5 pt
4- En déduire dans l’intervalle $[0;2\pi[$, l’ensemble solutions de l’équation $(E)$. 1 pt
5- Placer les points images des solutions de $(E)$ sur un cercle trigonométrique. 0,5 pt
Exercice 24 points
$E$ est un plan vectoriel ; $B(i,j)$ est une base de $E$ et $f$ est l’endomorphisme de $E$ défini par $f(i-j)=3i-j$ et $f(i+j)=-i+5j$.
1- Montrer que la matrice de $f$ dans la base $B$ est :
$\left(\begin{array}{cc}1 & -2\\[2pt]2 & 3\end{array}\right)$. 0,75 pt
2- Soit $g$ l’endomorphisme de $E$ défini par $g(i)=i-j+f(i)$ et $g(j)=8i+f(j)$.
a) Déterminer la matrice $A$ de $g$ dans la base $B$. 0,75 pt
b) Montrer que $Ker\,g$ est une droite vectorielle dont une base est $e_1=6i-2j$. 0,75 pt
c) Montrer que $Im\,g$ est une droite vectorielle dont une base est $e_2=2i+j$. 0,75 pt
On pose $B’=(e_1,e_2)$.
d) Montrer que $B’$ est une base de $E$. 0,25 pt
e) Montrer que $g(e_2)=5e_2$. 0,5 pt
f) En déduire la matrice $A’$ de $g$ dans la base $B’$. 0,25 pt
Exercice 32 points
1- Déterminer les réels $x$ et $y$ tels que :
$\left\{\begin{array}{l}x+y=40\\[2pt]xy=256\end{array}\right.$. 0,5 pt
2- $a$, $b$ et $c$ sont dans cet ordre trois termes consécutifs d’une suite géométrique à termes positifs et décroissante tels que :
$\left\{\begin{array}{l}a+b+c=56\\[2pt]abc=4096\end{array}\right.$
a) Calculer $16^3$ et déterminer $b$. 0,5 pt
b) En déduire $a$ et $b$. 1 pt
Problème11 points
Le problème comporte trois parties I, II et III.
Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O,i,j)$ ; on considère $A(0;2)$, $B(-2;0)$ et $C(2;0)$ trois points du plan. On note $G$ le barycentre des points pondérés $(A,2)$ ; $(B,1)$ et $(C,1)$.
PARTIE I
I-1) Montrer que le point $O$ est le milieu du segment $[BC]$. 0,5 pt
2) En déduire que le point $G$ appartient à la droite $(AO)$. 0,25 pt
3) Déterminer les coordonnées du point $G$. 0,5 pt
4) Montrer que pour tout point $M$ du plan, $AM^2+OM^2=2GM^2+2$. 0,5 pt
5) En déduire que l’ensemble $(T)$ des points $M$ du plan tels que : $2AM^2+BM^2+CM^2=28$ est un cercle dont on précisera le rayon et le centre. 0,75 pt
PARTIE II
II) Soit la fonction $f$ définie de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$ par $f(x)=ax^2+bx+c$ où $a$, $b$ et $c$ sont trois réels.
On suppose que la courbe de la fonction $f$ passe par les points $A$, $B$ et $C$.
1) Montrer que pour tout réel $x$, $f(x)=-\dfrac{1}{2}x^2+2$. 0,5 pt
2) Résoudre dans $\mathbb{R}$, l’inéquation $f(x)>0$. 0,5 pt
PARTIE III
III) Soit $g$ la fonction définie de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$ par $g(x)=\dfrac{-x^2+x-4}{x}$, $(C)$ sa courbe représentative.
1) Déterminer l’ensemble de définition $D$ de $g$. 0,5 pt
2) Déterminer les limites de $g$ en $-\infty$, $+\infty$, $0^-$ et $0^+$ ; en déduire une équation de l’asymptote verticale à la courbe $(C)$. 1,25 pt
3) Montrer que pour tout réel $x$ différent de zéro, $g'(x)=\dfrac{2f(x)}{x^2}$ où $g’$ est la fonction dérivée de $g$. 0,75 pt
4) Déduire de la question II-2), le sens de variation de $g$ et dresser son tableau de variation. 1 pt
5) Montrer que pour tout réel $x$ différent de zéro, $g(x)=-x+1-\dfrac{4}{x}$ et en déduire que la droite $(D)$ d’équation $y=-x+1$ est asymptote oblique à la courbe $(C)$. 1 pt
6) Déterminer la distance du point $G$ à la droite $(D)$ et en déduire que la droite $(D)$ est sécante au cercle $(T)$. Préciser les coordonnées de leurs points d’intersection. 1 pt
7) Tracer la courbe $(C)$ et ses asymptotes. (Unités sur les axes:1cm). 1 pt
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Épreuve de mathématiques — PROBATOIRE C 2017
Conclusion du PROBATOIRE C 2017
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