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L’épreuve de mathématiques du PROBATOIRE C 2016
ACTIVITES NUMERIQUES9 points
EXERCICE 14 points
Une urne contient six jetons portant les numéros $1$ ; $2$ ; $3$ ; $4$ ; $-1$ et $-3$.
On tire deux jetons successivement avec remise dans cette urne.
On désigne par $a$ le numéro porté par le premier jeton et par $b$ celui porté par le deuxième jeton.
$A$ et $B$ sont deux points fixes et distincts d’un plan $(P)$.
Déterminer le nombre de couples $(a,b)$ pour lesquels :
1. Les points pondérés $(A,a)$ et $(B,b)$ admettent un barycentre. 1 pt
2. Le vecteur $a\overrightarrow{AM}+b\overrightarrow{BM}$ est constant quel que soit le point $M$ du plan $(P)$. 1 pt
3. Les points pondérés $(A,a)$ et $(B,b)$ admettent un barycentre et ce barycentre appartient à $[AB]$. 1 pt
4. Les points pondérés $(A,a)$ et $(B,b)$ admettent un barycentre et ce barycentre est en dehors du segment $[AB]$. 1 pt
EXERCICE 25 points
I)
Soient $A$, $B$ et $C$ trois points distincts du plan orienté $(P)$ tels que $ABC$ soit un triangle équilatéral direct de centre de gravité $G$.
$A’$, $B’$ et $C’$ sont trois points de $(P)$ tels que $\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AA’}=\overrightarrow{CA}$ ; $\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BB’}=\overrightarrow{AB}$ ; $\dfrac{1}{3}\overrightarrow{CC’}=\overrightarrow{BC}$.
On désigne par $r$ la rotation de centre $G$ et d’angle $\dfrac{2\pi}{3}$.
1. (a) Déterminer l’image de la demi-droite $[CA)$ par $r$. 1 pt
(b) Montrer que $r(A’)=B’$. 1 pt
2. (a) Montrer que $r(B’)=C’$. 1 pt
(b) En déduire que le triangle $A’B’C’$ est équilatéral. 1 pt
II)
On suppose $AB=3$ et on désigne par $(d)$ la droite perpendiculaire au plan $(ABC)$ passant par $A$.
Soient $S$ un point de $(d)$ tel que $SA=4$, $E$ et $F$ des points tels que $\dfrac{16}{25}SE=SB$ et $\dfrac{16}{25}SF=SC$.
Les droites $(AE)$ et $(SB)$ sont-elles perpendiculaires ? Justifier votre réponse. 1 pt
PROBLEME11 points
PARTIE A6,5 points
On s’est intéressé aux variations de la hauteur d’un ruisseau en fonction du temps lors d’une forte pluie.
Les résultats de cette enquête sont consignés dans le tableau ci-après :
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Temps en heure }(X) & 0 & 0,5 & 1 & 1,5 & 2 & 2,5 & 3 \\ \hline \text{Hauteur d’eau en mètre }(Y) & 0,6 & 1,2 & 1,9 & 2,4 & 2,2 & 2 & 1,5 \\ \hline \end{array}$
1. (a) On donne $Cov(X,Y)=0,33$. Calculer le coefficient de corrélation linéaire de la série $(X,Y)$. 0,75 pt
(b) Un ajustement linéaire est-il approprié ? 0,5 pt
2. Représenter le nuage de points associé à la série $(X,Y)$ dans un repère orthogonal (unités : $1cm$ pour $0,5h$ en abscisses et $1cm$ pour $0,2m$ en ordonnées). 2 pts
3. Soit $f$ la fonction définie de $[0;\pi]$ vers $\mathbb{R}$ par $f(x)=ax^2+bx+c$.
On désigne par $(C)$ sa courbe représentative et on admet que $(C)$ passe par les points $A(0;0,6)$ ; $B(1;1,9)$ et $C(2,5;2)$.
(a) Déterminer $a$, $b$ et $c$ à $10^{-1}$ près. 0,75 pt
(b) Étudier et représenter $f$ dans le même repère que le nuage de points (prendre $\pi=3,14$). 2 pts
(c) En admettant que $f$ est un ajustement de la série $(X,Y)$, déterminer la hauteur de l’eau de ce ruisseau $165$ minutes après le début de la pluie. 0,5 pt
PARTIE B4,5 points
Soit $g$ la fonction définie de $[0;\pi]$ vers $\mathbb{R}$ par $g(x)=-\cos\left(x+\dfrac{2\pi}{3}\right)-\sin\left(x+\dfrac{2\pi}{3}\right)+1$.
On désigne par $(C_1)$ sa courbe représentative dans le repère orthogonal de la partie A.
1. Montrer que pour tout réel $x\in[0;\pi]$, $g(x)=-\sqrt{2}\cos\left(x+\dfrac{5\pi}{12}\right)+1$. 1 pt
2. (a) Calculer $g'(x)$ et justifier que $g'(x)>0 \Leftrightarrow x\in\left[0;\dfrac{7\pi}{12}\right[$. 1 pt
(b) Dresser le tableau de variation de $g$. 1 pt
3. Tracer en traits interrompus courts la courbe $(C_1)$ dans le même repère que celui du nuage de points. 1 pt
Ci-contre sont représentés dans un repère orthonormé $(O,i,j)$ la courbe $(C_2)$ représentative de la fonction $h$ définie dans $[0;\pi]$ par $h(x)=g(x)-f(x)$ où $f$ est la fonction de la partie A, les droites $(d)$ et $(d’)$ d’équations respectives $y=0,09$ ; $y=-0,09$ et le point d’intersection de $(C_2)$ et $(d’)$ nommé $A$.
Déterminer par lecture graphique les valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x)$ est une valeur approchée de $g(x)$ à $2\times 9\times 10^{-2}$ près. 0,5 pt
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Épreuve de mathématiques — PROBATOIRE C 2016
Conclusion du PROBATOIRE C 2016
D’abord, relisez les données et repérez ce qu’on demande avant de calculer. Ensuite, appliquez une méthode claire et écrivez chaque étape proprement. Puis, contrôlez vos résultats et vos unités pour éviter les petites erreurs. Enfin, Ndolomath vous encourage à rester calme et régulier jusqu’au dernier point.
