D’abord, le PROBATOIRE C 2014 t’entraîne avec l’épreuve complète sur Ndolomath. Ensuite, le PROBATOIRE C 2014 devient plus clair grâce à la définition de l’examen. Puis, le PROBATOIRE C 2014 te laisse suivre les questions et les points, étape par étape. Enfin, le PROBATOIRE C 2014 t’aide à réviser calmement, comme le jour de l’examen.
L’épreuve de mathématiques du PROBATOIRE C 2014
Exercice 14 points
1. (a) Calculer $\left(\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}\right)^2$ 0,5 pt
(b) Résoudre dans $\mathbb{R}^2$ le système suivant :
$\begin{cases} a+b=\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}\\ ab=\dfrac{\sqrt{3}}{4} \end{cases}$ 0,75 pt
(c) En déduire dans $]0;\dfrac{\pi}{2}[\times]0;\dfrac{\pi}{2}[$ les solutions du système d’inconnues $(x,y)$ suivant :
$\begin{cases} 2\sin x+2\sin y=\sqrt{3}+1\\ \sin x\sin y=\dfrac{\sqrt{3}}{4} \end{cases}$ 0,75 pt
2. Dans le plan vectoriel $E$ muni d’une base $B=(i,j)$, on considère l’application linéaire $f$ de $E$ dans $E$ et de matrice
$M=\begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} & \dfrac{\sqrt{3}}{2}\\ \dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{1}{2} \end{pmatrix}$ relative à $B$
(a) Déterminer le noyau et l’image de $f$. 1 pt
(b) On pose $M’=2M-2I$ où $I=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$. Justifier que $M’$ est la matrice inverse de $M$. 1 pt
Exercice 25 points
On s’est intéressé au nombre de personnes qui ont visité un site touristique sur 7 ans.
Les résultats de cette enquête sont consignés dans le tableau ci-dessous.
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Rang de l’année }(X) & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7\\ \hline \text{Nombre de personne en milliers }(Y) & 1{,}5 & 2 & 3{,}5 & 1 & 6 & 8 & 10\\ \hline \end{array}$
1. Représenter le nuage de points de la série statistique ainsi définie. 0,5 pt
2. (a) Calculer la covariance de la série statistique $(X,Y)$. On donnera le résultat à $10^{-2}$ près par excès. 1 pt
(b) En prenant la moyenne de $Y$ égale à $4{,}57$, la variance de $X$ égale à $4$ et la variance de $Y$ égale à $10{,}46$ :
i. Calculer le coefficient de corrélation linéaire entre $X$ et $Y$. 0,5 pt
ii. Justifier qu’une équation de la droite de régression de $Y$ en $X$ est : $y=1{,}43x-1{,}15$ 0,5 pt
(c) En déduire une estimation du nombre de personnes qui visiteront ce site en l’année de rang $31$. 0,5 pt
3. Ce site comporte 5 escales distinctes nommées $A$, $B$, $C$, $D$ et $E$.
Elles sont obligatoires pour tous les visiteurs qui y passent une seule fois par escale.
De combien de façons distinctes peut-on :
(a) Parcourir les 5 escales 0,5 pt
(b) Parcourir les 5 escales si on commence toujours par l’escale $A$ ? 1 pt
Problème11 points
Partie A6 points
Dans le plan orienté, $ABCD$ est un carré direct de centre $O$ et de côté $AB=6$.
$I$ est le milieu du segment $[AB]$, $M$ et $N$ des points de $[AD]$ et $[DC]$ respectivement tels que $AM=DN$ ; $M\ne A$ et $M\ne D$.
1. Soit $r$ la rotation qui transforme $A$ en $D$ et $M$ en $N$. 0,5 pt
Déterminer la mesure principale de l’angle $r$.
2. (a) Montrer que $OM^2=ON^2=AM^2-6AM+18$ 0,5 pt
(b) En déduire que $O$ est le centre de la rotation $r$. 0,5 pt
On pose pour toute la suite $AM=x$ et on appelle $G$ le barycentre du système $A(7-x)$ et $B(1)$ et $D(x)$.
3. (a) Soit $k$ un réel tel que $AM=k\,DM$. 1 pt
Déterminer $k$ en fonction de $x$ et en déduire que $M$ est le barycentre de $A$ et $D$ affectés respectivement des coefficients $6-x$ et $x$.
(b) Vérifier que $(7-x)\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+x\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+(6-x)\overrightarrow{GA}+x\overrightarrow{GD}$ et en déduire que $G$ est le barycentre des points $M$ et $I$ affectés des coefficients que l’on déterminera. 0,5 pt
(c) Soit $G’$, l’image de $G$ par $r$ et $J$ le milieu de $[AD]$. Justifier que $GJ=\dfrac{3}{4}NJ$. 0,5 pt
4. (a) Exprimer les aires des triangles $IAM$ et $MDN$ en fonction de $x$. 0,5 pt
(b) Montrer que l’aire $A_1$ du trapèze $BCNI$ en unité d’aire est : $A_1=27-3x$ 1 pt
(c) En déduire que l’aire $A$ du triangle $IMN$ en unité d’aire est : $A=\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{3}{2}x+9$ 1 pt
Partie B5 points
Soit $f$ la fonction définie de l’intervalle $[0;6]$ vers $\mathbb{R}$ par $f(x)=\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{3}{2}x+9$.
1. Calculer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition. 0,5 pt
2. (a) Étudier les variations de $f$ et dresser son tableau de variation. 1 pt
(b) En déduire que pour tout réel $x\in[0;6]$, $f(x)\ge f\left(\dfrac{3}{2}\right)$. 0,5 pt
(c) Déterminer la valeur de $f$ pour laquelle l’aire du triangle $IMN$ est minimale. 0,5 pt
3. Représenter $f$ dans un repère orthogonal. (Échelle : 1 cm pour 1 unité en abscisse ; 1 cm pour 3 unités en ordonnées) 1 pt
4. Soit $g$ la fonction définie de $[-6;6]$ vers $\mathbb{R}$ par $g(x)=f(|x|)$.
(a) Étudier la continuité et la dérivabilité de $g$ en $0$. 0,5 pt
(b) Justifier que $g$ est une fonction paire. 0,5 pt
(c) Déduire en traits interrompus courts, la courbe de $g$ de celle de $f$. 0,5 pt
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Épreuve de mathématiques — PROBATOIRE C 2014
Conclusion du PROBATOIRE C 2014
D’abord, prenez le temps de lire chaque question et de repérer les points importants. Ensuite, PROBATOIRE C 2014 vous entraîne à justifier vos étapes avec soin. Puis, vérifiez vos calculs et vos signes pour éviter les petites erreurs. Enfin, Ndolomath vous accompagne pour rester serein et avancer jusqu’au bout.
