D’abord, le Probatoire C 2011 se prépare sereinement avec Ndolomath et une méthode simple. Ensuite, le Probatoire C 2011 prend sens avec la définition de l’examen et des objectifs clairs. Puis, il devient plus accessible en lisant les consignes et en gérant le barème. Enfin, le Probatoire C 2011 se réussit en s’entraînant régulièrement, sans paniquer devant les questions.
L’épreuve de mathématiques du PROBATOIRE C 2011
Exercice 1 : 5 points
Le plan affine euclidien est rapporté au repère orthonormé direct $({O},{\vec{i}},{\vec{j}})$; on considère les points, $A(2;-3)$, $B(1;-2)$ et $C$ tel que $C$ soit le barycentre de $A$ et $B$ affectés des coefficients 2 et -1
1. Montrer que $A$ est le milieu de $[BC]$ 1 pt
2. On considère $(C)$ et $(C’)$ les cercles d’équations cartésiennes respectives : $x^{2}+y^{2}-2x+4y+3=0$ et $x^{2}+y^{2}-6x+8y+23=0$
a. Déterminer les éléments caractéristiques de $(C)$ et $(C’)$ . 1 pt
b. Montrer que $(C’)$ est l’image de $(C)$ par la symétrie de centre $A$ . 1 pt
c. Soit $(D)$ la droite d’équation cartésienne $x-y+c$. Déterminer $c$ pour que $(D)$ soit une tangente commune à $(C)$ et $(C’)$ . 1,5 pt
d. Tracer $(D)$, $(C)$ et $(C’)$ 0,5 pt
Exercice 2 : 4 points
Chacune des questions suivantes se termine par une affirmation écrite en gras ; dire dans chaque cas si cette affirmation est vraie ou fausse. Aucun calcul n’est demandé sur votre feuille de composition.
1. $G$ est le barycentre du système de points pondérés du plan. 1 pt
$\left\{\left(A,\cos^{2}\alpha\right);\left(B,-\sin^{2}\alpha\right);\left(C;\frac{1}{2}\right)\right\}$ Avec $\alpha\in]-\pi;\pi[.$
$G$ existe pour $\frac{2\pi}{3}-\alpha$
2. Le plan vectoriel étant rapporté à la base $({\vec{i}},{\vec{j}})$ et $f$ est l’endomorphisme défini de la manière suivante : 1 pt
$f(\vec{i}-2\vec{j})=\vec{i}+\vec{j}$; $f(\vec{i}+\vec{j})=-2\vec{i}-2\vec{j}$
$f$ est un isomorphisme
3. L’espace affine euclidien est rapporté au repère orthonormé $({O},{\vec{i}},{\vec{j}},{\vec{k}})$. $\Phi$ est la sphère de centre $\Omega(1,1,0)$ et de rayon 2. 1 pt
$P$ est le plan d’équation cartésienne $x+y+\sqrt{2}z+2=0$
L’intersection de $P$ et de $\Phi$ est un cercle.
4. $(U_{n})$ et $(V_{n})$ sont deux suites numériques définies de la manière suivante : 1 pt
$U_{0}=3$ et $U_{n+1}=1+\dfrac{U_{n}-1}{2U_{n}-1}$; et $V_{n}=\dfrac{1}{U_{n}-1}$
$V_{n}$ est une suite arithmétique de raison 2.
Problème 11 points
Partie A :7,5 points
On considère la fonction numérique définie pour tout réel $x$ différent de -1 par : $f(x)=\dfrac{4x^{2}+5x+2}{x+1}$
$(C)$ désigne dans le plan rapporté au repère orthonormé $({O},{\vec{i}},{\vec{j}})$ la courbe représentative de $f$ .
1. Donner les limites de $f$ aux bornes de son domaine de définition. 1 pt
2. Calculer $f'(x)$, en déduire le sens de variation de $f$ sur son ensemble de définition. 1,5 pt
3. Dresser le tableau de variation de $f$ . 0,5 pt
4. Montrer que le point $I(-1;-3)$ est centre de symétrie de $(C)$ 1 pt
5. Montrer que $C$ admet une asymptote oblique dont on donnera une équation cartésienne (on écrira $f(x)$ sous la forme $ax+b+\dfrac{c}{x+1}$, $a$, $b$ et $c$ étant des nombres réels qu’on déterminera.) 1 pt
6. Tracer $(C)$ 1 pt
7. $S_{I}$ désigne la symétrie de centre $I$ et $S_{\Delta}$ la symétrie d’axe $(ox)$; construire dans le même repère l’image $(C’)$ de la courbe $C$ par la transformation $S_{\Delta}\circ S_{I}$. (On pourra utiliser le résultat de la question 4.) 1,5 pt
Partie B :3,5 points
$ABCDEFGH$ est un cube
1. Déterminer les coordonnées de $C$, $F$, $G$ et $H$ dans le repère, $(A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE})$ 1 pt
2. Donner une équation cartésienne du plan $(CFH)$ et calculer la distance du point $G$ à ce plan. 1,5 pt
3. Montrer que le triangle $CFH$ est équilatéral. 1 pt
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Épreuve de mathématiques — PROBATOIRE C 2011
Conclusion du PROBATOIRE C 2011
D’abord, relisez calmement les consignes et repérez les points faciles à prendre. Ensuite, entraînez-vous à gérer le temps, étape par étape, sans vous précipiter. Puis, gardez confiance et revenez aux questions en vous appuyant sur vos acquis. Enfin, Ndolomath vous accompagne pour réviser efficacement et arriver prêt le jour J.
